kaoyan1advanced 高等数学 第9题
📝 题目
### 第9题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．$
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💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{3}$ **解析**： 步骤1：由定积分定义，$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} = \int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}$。 步骤2：原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^3+n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n\sqrt{n}}{\sqrt{n^3+n}} \cdot \frac{\sqrt{1}+\cdots+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分母并提取因子
原式 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^3(1+\frac{1}{n^2})}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{n\sqrt{n} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$
公式：$$\sqrt{n^3+n} = \sqrt{n^3(1+\frac{1}{n^2})} = n\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}$$
提示：注意提取公因式时指数运算正确
步骤 2/5
目标：分离极限因子
由于 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = 1$，原式可化为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} \cdot 1$
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = 1$$
提示：注意极限因子分离后需验证极限存在
步骤 3/5
目标：应用定积分定义
将 $\displaystyle \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}$ 改写为 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}}$，这是函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和，因此 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{x} \, dx$
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$$
提示：注意将求和式转化为黎曼和的形式
步骤 4/5
目标：计算定积分
$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left. \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right|_0^1 = \frac{2}{3}$
公式：$$\int_0^1 x^{\frac{1}{2}} dx = \left. \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right|_0^1 = \frac{2}{3}$$
提示：注意幂函数积分公式的运用
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此原极限 $\displaystyle = \frac{2}{3}$
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$$
提示：注意定积分定义中1/n的系数
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