kaoyan1advanced 高等数学 第5题
📝 题目
### 第5题
\quad $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cot ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle e^{\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}}$ **解析**：步骤1：$x\to0$时，$\displaystyle \cot^3 x \sim \frac{1}{x^3}$，$\sin x \sim x$，$\displaystyle \cos\alpha x \sim 1 - \frac{\alpha^2 x^2}{2}$，故$\displaystyle 1+\sin x\cos\alpha x \sim 1 + x(1 - \frac{\alpha^2 x^2}{2}) = 1 + x - \frac{\alpha^2}{2}x^3$。 步骤2：同理$\displaystyle 1+\sin x\cos\beta x \sim 1 + x - \frac{\beta^2}{2}x^3$。 步骤3：则$\displaystyle \frac{1+\sin x\cos\alpha x}{1+\sin x\cos\beta x} \sim 1 + \frac{\beta^2-\alpha^2}{2}x^3$（利用$\displaystyle \frac{1+u}{1+v} \sim 1+u-v$，其中$\displaystyle u=x-\frac{\alpha^2}{2}x^3, v=x-\frac{\beta^2}{2}x^3$，得$\displaystyle u-v = \frac{\beta^2-\alpha^2}{2}x^3$）。 步骤4：原极限$\displaystyle = \lim_{x\to0} \left(1 + \frac{\beta^2-\alpha^2}{2}x^3\right)^{\frac{1}{x^3}} = e^{\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}}$。 **难度**：★★★★☆