kaoyan1advanced 高等数学 第4题
📝 题目
### 第4题
当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left[\frac{\mathrm{e}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}\right]^{x}-\sqrt{\mathrm{e}}$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，则 $k=$ $\_\_\_\_$ .
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**：步骤1：令$\displaystyle t=\frac{1}{x}$，则$x\to\infty$时$t\to0^+$，原式$\displaystyle =\left[\frac{e}{(1+t)^{1/t}}\right]^{1/t} - \sqrt{e}$。 步骤2：$\displaystyle (1+t)^{1/t} = e^{\frac{1}{t}\ln(1+t)} = e^{1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \cdots}$，故$\displaystyle \frac{e}{(1+t)^{1/t}} = e^{\frac{t}{2} - \frac{t^2}{3} + \cdots}$。 步骤3：则$\displaystyle \left[\frac{e}{(1+t)^{1/t}}\right]^{1/t} = e^{\frac{1}{t}(\frac{t}{2} - \frac{t^2}{3} + \cdots)} = e^{\frac{1}{2} - \frac{t}{3} + \cdots} = \sqrt{e} \cdot e^{-\frac{t}{3} + \cdots}$。 步骤4：展开得$\displaystyle \sqrt{e}(1 - \frac{t}{3} + \cdots)$，减去$\sqrt{e}$得$\displaystyle -\frac{\sqrt{e}}{3}t + \cdots$，即$\displaystyle -\frac{\sqrt{e}}{3x}$，与$x^{-1}$同阶，故$k=1$。 **难度**：★★★★☆