kaoyan1advanced 高等数学 第3题
📝 题目
### 第3题
设 $f(x)$ 是非负连续函数，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\ln (1+x)} t f(t) \mathrm{d} t}{\left[\int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} \mathrm{d} t\right]^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：$x\to0^+$时，$\ln(1+x)\sim x$，分子$\int_0^{\ln(1+x)} t f(t) dt \sim \int_0^x t f(t) dt$。 步骤2：由$\displaystyle f(0)=0, f'(0)=\frac{1}{2}$，得$\displaystyle f(t)\sim \frac{1}{2}t$，故$\displaystyle t f(t)\sim \frac{1}{2}t^2$，$\displaystyle \int_0^x t f(t) dt \sim \frac{1}{6}x^3$。 步骤3：分母$\left[\int_0^x \sqrt{f(t)} dt\right]^2$，$\displaystyle \sqrt{f(t)}\sim \sqrt{\frac{1}{2}t}$，$\displaystyle \int_0^x \sqrt{f(t)} dt \sim \int_0^x \sqrt{\frac{t}{2}} dt = \frac{\sqrt{2}}{3}x^{3/2}$，平方得$\displaystyle \frac{2}{9}x^3$。 步骤4：原极限$\displaystyle =\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{6}x^3}{\frac{2}{9}x^3} = \frac{3}{4}$。 **难度**：★★★★☆