kaoyan1advanced 高等数学 第2题
📝 题目
### 第2题
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$$ $\_\_\_\_$ ．
建役答题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：由积分第二中值定理，存在$\xi\in(0,x)$，使得$\int_0^x \sqrt{t}\cos t dt = \sqrt{x}\int_\xi^x \cos t dt = \sqrt{x}(\sin x - \sin\xi)$。 步骤2：则$\displaystyle \left|\frac{\int_0^x \sqrt{t}\cos t dt}{x}\right| \le \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}} \to 0$，故极限为$0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用积分第二中值定理
由积分第二中值定理，存在 $\xi \in (0, x)$，使得 $\int_0^x \sqrt{t} \cos t \, dt = \sqrt{x} \int_\xi^x \cos t \, dt = \sqrt{x} (\sin x - \sin \xi)$。
公式：$$\int_0^x \sqrt{t} \cos t \, dt = \sqrt{x} \int_\xi^x \cos t \, dt = \sqrt{x} (\sin x - \sin \xi)$$
提示：注意ξ∈(0,x)且√t在[0,x]上单调
步骤 2/4
目标：估计绝对值
则 $\left| \frac{\int_0^x \sqrt{t} \cos t \, dt}{x} \right| = \left| \frac{\sqrt{x} (\sin x - \sin \xi)}{x} \right| \le \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$。
公式：$$\left| \frac{\int_0^x \sqrt{t} \cos t \, dt}{x} \right| = \left| \frac{\sqrt{x} (\sin x - \sin \xi)}{x} \right| \le \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$$
提示：注意积分中值定理的使用条件
步骤 3/4
目标：取极限
由于 $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0$，由夹逼定理得 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\int_0^x \sqrt{t} \cos t \, dt}{x} = 0$。
公式：$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0$$
提示：注意夹逼定理的使用条件
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，极限值为 $0$。
公式：$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\int_0^x \sqrt{t} \cos t \, dt}{x} = 0$$
提示：注意积分上限趋于无穷时，分子振荡有界，分母线性增长
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。