kaoyan1advanced 高等数学 第1题
📝 题目
### 第1题
极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-\sin ^{x} x}{x^{2} \arctan x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{6}$ **解析**：步骤1：$x\to0^+$时，$\arctan x \sim x$，故原极限等价于$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{x^x-\sin^x x}{x^3}$。 步骤2：$\displaystyle x^x = e^{x\ln x} \sim 1 + x\ln x + \frac{1}{2}x^2\ln^2 x + \cdots$，$\sin^x x = e^{x\ln\sin x}$，$\displaystyle \ln\sin x \sim \ln x - \frac{x^2}{6}$，故$\displaystyle x\ln\sin x \sim x\ln x - \frac{x^3}{6}$，则$\displaystyle \sin^x x \sim 1 + x\ln x - \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2}x^2\ln^2 x + \cdots$。 步骤3：相减得$\displaystyle x^x - \sin^x x \sim \frac{x^3}{6}$，故极限为$\displaystyle \frac{1}{6}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：等价无穷小替换
当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，因此原极限等价于：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - \sin^x x}{x^2 \cdot x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - \sin^x x}{x^3}.$$
公式：$$\arctan x \sim x$$
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 2/6
目标：将幂指函数化为指数形式
利用 $a^b = e^{b \ln a}$，有：
$$x^x = e^{x \ln x}, \quad \sin^x x = e^{x \ln \sin x}.$$
公式：$$a^b = e^{b \ln a}$$
提示：注意幂指函数转换时底数需大于0
步骤 3/6
目标：展开 $x^x$ 的泰勒级数
当 $x \to 0^+$ 时，$x \ln x \to 0$，故 $e^{x \ln x}$ 可展开为：
$$x^x = 1 + x \ln x + \frac{1}{2} x^2 \ln^2 x + o(x^2 \ln^2 x).$$
公式：$$x^x = e^{x \ln x} = 1 + x \ln x + \frac{1}{2} x^2 \ln^2 x + o(x^2 \ln^2 x)$$
提示：注意x^x展开需先取对数，x→0+时x ln x→0
步骤 4/6
目标：展开 $\sin^x x$ 的泰勒级数
先展开 $\ln \sin x$：当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，则
$$\ln \sin x \sim \ln x + \ln\left(1 - \frac{x^2}{6}\right) \sim \ln x - \frac{x^2}{6}.$$
因此
$$x \ln \sin x \sim x \ln x - \frac{x^3}{6}.$$
代入指数展开：
$$\sin^x x = e^{x \ln \sin x} = 1 + \left(x \ln x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{1}{2} \left(x \ln x - \frac{x^3}{6}\right)^2 + \cdots$$
保留到 $x^3$ 项，注意 $x \ln x$ 是比 $x$ 高阶的无穷小，但 $x^3$ 是低阶项，故
$$\sin^x x \sim 1 + x \ln x - \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2} x^2 \ln^2 x + o(x^3).$$
公式：$$\sin^x x = e^{x \ln \sin x} \sim 1 + x \ln x - \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2} x^2 \ln^2 x$$
提示：注意x ln x是比x高阶的无穷小，展开时需保留到x^3项
步骤 5/6
目标：相减并求极限
将 $x^x$ 与 $\sin^x x$ 的展开式相减：
$$x^x - \sin^x x \sim \left(1 + x \ln x + \frac{1}{2} x^2 \ln^2 x\right) - \left(1 + x \ln x - \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2} x^2 \ln^2 x\right) = \frac{x^3}{6}.$$
因此
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - \sin^x x}{x^3} = \frac{1}{6}.$$
公式：$$x^x - \sin^x x \sim \frac{x^3}{6}$$
提示：注意展开式相减时各项对齐
步骤 6/6
目标：得出最终答案
原极限为 $\displaystyle \frac{1}{6}$。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - \sin^x x}{x^2 \arctan x} = \frac{1}{6}$$
提示：注意0^+方向，处理幂指函数时取对数
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