kaoyan1advanced 高等数学 第85题
📝 题目
### 第85题
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sqrt[n]{n}, n=1,2, \cdots$ ，则下列命题中，正确的是 （A）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 能取到最小值，但取不到最大值． （B）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 能取到最大值，但取不到最小值． （C）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既能取到最大值，又能取到最小值． （D）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既不能取到最大值，又不能取到最小值．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$a_n=\sqrt[n]{n}=n^{1/n}$，$a_1=1$，$a_2=\sqrt{2}\approx1.414$，$a_3=\sqrt[3]{3}\approx1.442$，$a_4=\sqrt[4]{4}\approx1.414$，在$n=3$处取最大值，$n=1$处取最小值，故既能取到最大值又能取到最小值。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出数列通项并计算前几项
数列通项为 $a_n = \sqrt[n]{n} = n^{1/n}$。计算前几项：$a_1 = 1^{1} = 1$，$a_2 = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$，$a_3 = 3^{1/3} \approx 1.442$，$a_4 = 4^{1/4} = \sqrt{2} \approx 1.414$。
公式：$$a_n = \sqrt[n]{n} = n^{1/n}$$
提示：注意n=1时a1=1，n=2时a2=√2
步骤 2/4
目标：分析数列的单调性
考虑函数 $f(x) = x^{1/x} \ (x > 0)$，取对数得 $\ln f(x) = \frac{\ln x}{x}$。求导：$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$，故 $f'(x) = f(x) \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$。当 $0 < x < e$ 时 $f'(x) > 0$，$x > e$ 时 $f'(x) < 0$，因此 $f(x)$ 在 $(0, e]$ 递增，在 $[e, +\infty)$ 递减。由于 $n$ 为正整数，$e \approx 2.718$，所以 $a_n$ 在 $n=2$ 到 $n=3$ 之间递增，$n=3$ 之后递减。
公式：$$f'(x) = f(x) \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$$
提示：注意n为正整数，e≈2.718
步骤 3/4
目标：确定最大值和最小值
由单调性知 $a_n$ 在 $n=3$ 处取得最大值，因为 $a_3 > a_2$ 且 $a_3 > a_4 > a_5 > \cdots$。计算 $a_1 = 1$，而 $a_n > 1$ 对 $n \geq 2$，故 $a_1$ 是最小值。因此数列既能取到最大值（$n=3$）又能取到最小值（$n=1$）。
提示：注意n=1时a1=1是最小值
步骤 4/4
目标：选择正确选项
根据分析，数列 $\{a_n\}$ 既能取到最大值又能取到最小值，对应选项（C）。
提示：注意数列单调性变化，需分析n=1,2,3时的值
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