kaoyan1advanced 高等数学 第84题
📝 题目
### 第84题
曲线 $\displaystyle y=\frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}}$ 的渐近线的条数为 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$x=0$处$\lim_{x\to0^-}y=0$，$\lim_{x\to0^+}y=+\infty$，故$x=0$为垂直渐近线；$\lim_{x\to-\infty}y=1$，故$y=1$为水平渐近线；$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{y}{x}=1$，$\lim_{x\to+\infty}(y-x)=2$，故$y=x+2$为斜渐近线，共3条。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定垂直渐近线
考虑分母为零的点，即 $1-\mathrm{e}^{-x}=0$，解得 $x=0$。分别计算左右极限：
$$\lim_{x\to 0^-} y = \lim_{x\to 0^-} \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{1}{0^-} = 0, \quad \lim_{x\to 0^+} y = \lim_{x\to 0^+} \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty.$$
由于 $x\to 0^+$ 时 $y\to +\infty$，故 $x=0$ 为垂直渐近线。
提示：注意左右极限不同，只有一侧无穷大即算垂直渐近线
步骤 2/5
目标：确定水平渐近线
考虑 $x\to -\infty$ 时的极限：
$$\lim_{x\to -\infty} y = \lim_{x\to -\infty} \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1+x}{1-\infty} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1+x}{-\infty} = 1.$$
因此 $y=1$ 为一条水平渐近线。
提示：注意x→-∞时e^{-x}→∞，分母趋向-∞
步骤 3/5
目标：确定斜渐近线（斜率）
考虑 $x\to +\infty$ 时的斜渐近线。先求斜率 $k$：
$$k = \lim_{x\to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1+x}{x(1-\mathrm{e}^{-x})} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1+x}{x} \cdot \frac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{1}{x}+1\right) \cdot \frac{1}{1-0} = 1.$$
公式：$$k = \lim_{x\to +\infty} \frac{y}{x}$$
提示：注意x趋于无穷时e^{-x}趋于0
步骤 4/5
目标：确定斜渐近线（截距）
再求截距 $b$：
$$b = \lim_{x\to +\infty} (y - kx) = \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} - x\right) = \lim_{x\to +\infty} \frac{1+x - x(1-\mathrm{e}^{-x})}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1+x - x + x\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1 + x\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{1+0}{1-0} = 2.$$
因此斜渐近线为 $y = x + 2$。
提示：注意x→+∞时e^{-x}→0
步骤 5/5
目标：统计渐近线条数
已找到三条渐近线：垂直渐近线 $x=0$，水平渐近线 $y=1$，斜渐近线 $y=x+2$。故渐近线的条数为 $3$。
提示：注意检查所有可能的渐近线类型。
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