kaoyan1advanced 高等数学 第83题
📝 题目
### 第83题
设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}}\left[1+|f(x)|+\mathrm{e}^{\frac{-\left(x-x_{0}\right)^{4}}{\left[f(x)-\left(x-x_{0}\right)^{2}\right]^{2}}}\right]=1$ ，则 （A）$x_{0}$ 不是 $f(x)$ 的驻点． （B）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的驻点，但不是极值点． （C）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极大值点． （D）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点．
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💡 答案解析
**答案**：D **解析**：由极限条件$\displaystyle \lim_{x\to x_0}[1+|f(x)|+e^{\frac{-(x-x_0)^4}{[f(x)-(x-x_0)^2]^2}}]=1$，得$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=0$且$\displaystyle \lim_{x\to x_0}e^{\frac{-(x-x_0)^4}{[f(x)-(x-x_0)^2]^2}}=0$，故$\lim_{x\to x_0}f(x)=0$，由连续性得$f(x_0)=0$。由指数项趋于0知分母趋于0，即$\lim_{x\to x_0}[f(x)-(x-x_0)^2]=0$，故$f(x)\sim (x-x_0)^2$，因此$x_0$是极小值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限条件
由题设，$\displaystyle \lim_{x \to x_0} \left[1 + |f(x)| + e^{\frac{-(x-x_0)^4}{[f(x)-(x-x_0)^2]^2}}\right] = 1$。由于$|f(x)| \geq 0$且指数函数$e^{\cdot} \geq 0$，因此极限为1意味着$\displaystyle \lim_{x \to x_0} |f(x)| = 0$且$\displaystyle \lim_{x \to x_0} e^{\frac{-(x-x_0)^4}{[f(x)-(x-x_0)^2]^2}} = 0$。
公式：$$\lim_{x \to x_0} \left[1 + |f(x)| + e^{\frac{-(x-x_0)^4}{[f(x)-(x-x_0)^2]^2}}\right] = 1$$
提示：注意非负项和为零则每项极限为零
步骤 2/6
目标：推导$f(x_0)=0$
由$\displaystyle \lim_{x \to x_0} |f(x)| = 0$得$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = 0$。又$f(x)$在$x_0$处连续，故$f(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x) = 0$。
公式：$$\lim_{x \to x_0} |f(x)| = 0 \Rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = 0$$
提示：注意绝对值极限为0可推出原函数极限为0
步骤 3/6
目标：分析指数项极限
由$\displaystyle \lim_{x \to x_0} e^{\frac{-(x-x_0)^4}{[f(x)-(x-x_0)^2]^2}} = 0$，指数部分必须趋于$-\infty$，即$\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{-(x-x_0)^4}{[f(x)-(x-x_0)^2]^2} = -\infty$。由于分子$-(x-x_0)^4 \leq 0$且趋于0，分母必须趋于0且比分子更快，故$\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)-(x-x_0)^2] = 0$。
公式：$$\lim_{x \to x_0} \frac{-(x-x_0)^4}{[f(x)-(x-x_0)^2]^2} = -\infty$$
提示：注意分母趋于0的速度比分子快
步骤 4/6
目标：确定$f(x)$的局部行为
由$\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)-(x-x_0)^2] = 0$，即$f(x) \sim (x-x_0)^2$当$x \to x_0$。因此，在$x_0$附近，$f(x) \approx (x-x_0)^2 \geq 0$，且$f(x_0)=0$。
公式：$$\lim_{x \to x_0} [f(x)-(x-x_0)^2] = 0$$
提示：注意极限等价于函数近似，但非严格相等
步骤 5/6
目标：判断极值点
由于$f(x) \geq 0 = f(x_0)$在$x_0$的某邻域内成立（等号仅在$x=x_0$时取到），故$x_0$是$f(x)$的极小值点。同时，$f'(x_0)=0$（因为$f(x)$在$x_0$处可导且导数为0），所以$x_0$是驻点。
提示：注意极值点与驻点的关系
步骤 6/6
目标：选择正确选项
根据以上分析，$x_0$是$f(x)$的驻点且为极小值点，对应选项（D）。
提示：注意驻点与极值点的区别
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