kaoyan1advanced 高等数学 第82题
📝 题目
### 第82题
设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{x}=-1$ ，则 （A）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值． （B）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值． （C）$(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （D）$x=0$ 是驻点，但 $f(0)$ 不是极值．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{x}=-1$，得$f''(0)=0$，且$f''(x)$在$x=0$附近变号（因极限为负，$x>0$时$f''(x)<0$，$x<0$时$f''(x)>0$）。 步骤2：故$(0,f(0))$是拐点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限条件推导f''(0)的值
由已知极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{x} = -1$，由于分母 $x \to 0$，极限存在且为有限值 $-1$，因此分子 $f''(x)$ 也必须趋于 $0$。又因为 $f(x)$ 有二阶连续导数，所以 $f''(x)$ 在 $x=0$ 处连续，故 $f''(0) = \lim_{x \to 0} f''(x) = 0$。
提示：注意极限存在且分母趋于0时分子必趋于0
步骤 2/5
目标：分析f''(x)在x=0附近的符号变化
由极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{x} = -1$ 可知，当 $x$ 充分接近 $0$ 时，$\frac{f''(x)}{x}$ 与 $-1$ 同号，即 $\frac{f''(x)}{x} < 0$。因此：
- 当 $x > 0$ 时，$x > 0$，则 $f''(x) < 0$；
- 当 $x < 0$ 时，$x < 0$，则 $f''(x) > 0$。
所以 $f''(x)$ 在 $x=0$ 左右两侧变号。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{x} = -1$$
提示：注意极限符号与不等式推导
步骤 3/5
目标：判断拐点条件
拐点的判定定理：若 $f''(x_0)=0$ 且 $f''(x)$ 在 $x_0$ 左右两侧变号，则点 $(x_0, f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。这里 $x_0=0$，$f''(0)=0$，且 $f''(x)$ 在 $x=0$ 左侧为正、右侧为负，满足变号条件，因此 $(0, f(0))$ 是拐点。
提示：注意二阶导数为0且变号才是拐点
步骤 4/5
目标：排除其他选项
选项（A）和（B）涉及极值，但极值需通过 $f'(x)$ 的符号或 $f''(x)$ 的符号判断。题目未给出 $f'(0)$ 的信息，无法确定 $x=0$ 是否为驻点，故不能直接判定极值。选项（D）说 $x=0$ 是驻点，但由已知条件无法推出 $f'(0)=0$，因此也不正确。
提示：极值需驻点条件，未给f'(0)无法判断
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综合以上分析，正确选项为（C）：$(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。
提示：注意拐点判定需结合二阶导变号
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。