kaoyan1advanced 高等数学 第81题
📝 题目
### 第81题
下述论断正确的是 （A）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，除 $x=0$ 外均可导，且 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是严格单调增加的． （B）设 $f(x)$ 为偶函数且 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则 $f^{\prime}(0)=0$ ． （C）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处二阶导数存在，且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点． （D）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处三阶导数存在，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x=x_{0}$一定不是 $f(x)$ 的极值点．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：A错误，反例$f(x)=\begin{cases}x, & x<0\\ x+1, & x\geq0\end{cases}$，除$x=0$外$f'>0$，但$f$不单调。 步骤2：B错误，偶函数在$x=0$处极值，若可导则$f'(0)=0$，但不可导时不一定，如$f(x)=|x|$。 步骤3：C错误，需$f'(x_0)=0$才为极值点。 步骤4：D正确，三阶导数非零时，$x_0$为拐点，不是极值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
选项A错误。反例：定义函数 $f(x)=\begin{cases} x, & x<0 \\ x+1, & x\geq 0 \end{cases}$。除 $x=0$ 外，$f'(x)=1>0$，但 $f(-1)=-1$，$f(0)=1$，$f(1)=2$，由于 $f(0)>f(-1)$ 且 $f(0)
提示：分段点处导数不存在时，单调性需整体判断
步骤 2/5
目标：分析选项B
选项B错误。反例：$f(x)=|x|$ 是偶函数，$x=0$ 是极小值点，但 $f'(0)$ 不存在（左导数为-1，右导数为1），因此 $f'(0)=0$ 不一定成立。
提示：极值点导数不一定为零
步骤 3/5
目标：分析选项C
选项C错误。极值点的充分条件要求 $f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$（或 $<0$）。仅 $f''(x_0)>0$ 不能保证 $x_0$ 是极值点，例如 $f(x)=x^2$ 在 $x=0$ 处 $f''(0)=2>0$，但 $f'(0)=0$ 才成立；若 $f'(x_0)\neq 0$，则 $x_0$ 不是极值点。
提示：极值点需一阶导为零
步骤 4/5
目标：分析选项D
选项D正确。若 $f'(x_0)=0$，$f''(x_0)=0$，$f'''(x_0)\neq 0$，则 $x_0$ 是拐点（函数在该点两侧凹凸性改变），不是极值点。例如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处满足条件，但 $x=0$ 不是极值点。
提示：注意三阶导数非零时拐点而非极值
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上分析，正确的选项是D。
提示：注意间断点对单调性的影响
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