kaoyan1advanced 高等数学 第80题
📝 题目
### 第80题
设函数 $f(x)=\left|2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-3\right|$ 的驻点个数为 $m$ ，极值点的个数为 $n$ ，则 （A）$m=1, n=1$ ． （B）$m=2, n=2$ ． （C）$m=2, n=3$ ． （D）$m=3, n=2$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：令$g(x)=2x^3-9x^2+12x-3$，则$g'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$，驻点$x=1,2$。$g(1)=2$，$g(2)=1$。 步骤2：$f(x)=|g(x)|$，$g(x)$在$(-\infty,1)$增，$(1,2)$减，$(2,+\infty)$增，且$g(1)=2>0$，$g(2)=1>0$，故$f(x)$在$x=1,2$处可导，且$f'(x)=g'(x)$符号相同，故$f$的驻点为$g$的驻点，即$x=1,2$，$m=2$。 步骤3：$f(x)$的极值点需考虑绝对值，$g(x)$恒正，故$f$与$g$极值点相同，但$g$在$x=1$处极大，$x=2$处极小，故$n=2$。但注意$f$在$g(x)=0$处可能不可导，此处$g(x)=0$无实根，故$n=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：定义辅助函数并求导
令 $g(x)=2x^3-9x^2+12x-3$，则 $f(x)=|g(x)|$。计算 $g'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$，得到驻点 $x=1$ 和 $x=2$。
公式：$$g'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$$
提示：注意绝对值函数驻点需考虑内部零点
步骤 2/4
目标：分析 $g(x)$ 的符号和单调性
计算 $g(1)=2>0$，$g(2)=1>0$。$g'(x)$ 的符号：当 $x<1$ 时 $g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增；当 $12$ 时 $g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。由于 $g(x)$ 恒正，$f(x)=g(x)$ 在 $x=1,2$ 处可导，且 $f'(x)=g'(x)$，因此 $f(x)$ 的驻点与 $g(x)$ 相同，即 $x=1,2$，故 $m=2$。
提示：注意绝对值函数在零点处可能不可导
步骤 3/4
目标：确定极值点个数
由于 $g(x)$ 恒正，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的极值点相同。$g(x)$ 在 $x=1$ 处由增变减，取得极大值；在 $x=2$ 处由减变增，取得极小值。因此 $f(x)$ 有两个极值点，即 $n=2$。注意 $g(x)=0$ 无实根，故不存在因绝对值导致的不可导点。
提示：注意绝对值内函数恒正，极值点与内函数相同
步骤 4/4
目标：得出结论
驻点个数 $m=2$，极值点个数 $n=2$，对应选项（D）$m=3, n=2$ 错误，正确选项为（D）？检查选项：选项（D）为 $m=3, n=2$，但实际 $m=2$，故选项（D）不正确。重新核对：题目选项（D）为 $m=3, n=2$，但解析得出 $m=2, n=2$，对应选项（B）$m=2, n=2$。因此正确答案是（B）。
提示：注意驻点与极值点的区别
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。