kaoyan1advanced 高等数学 第79题
📝 题目
### 第79题
设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[f(x+2)+\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}{1-\cos x}=4$ ，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的 （A）不可导点． （B）驻点且是极大值点． （C）驻点且是极小值点． （D）可导的点但不是驻点．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由极限式，分母$\displaystyle 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$，故分子$\ln[f(x+2)+e^{x^2}]\sim 2x^2$，从而$f(x+2)+e^{x^2}\to 1$，得$f(2)=0$。 步骤2：由极限，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln[f(x+2)+e^{x^2}]}{x^2/2}=4$，故$\ln[f(x+2)+e^{x^2}]\sim 2x^2$，即$f(x+2)+e^{x^2}\sim e^{2x^2}\sim 1+2x^2$，得$f(x+2)\sim 2x^2$，故$f'(2)=0$，且$f''(2)=4>0$，故$x=2$是极小值点。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限和等价无穷小确定函数值
由极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln[f(x+2)+e^{x^2}]}{1-\cos x}=4$，分母 $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，故分子 $\ln[f(x+2)+e^{x^2}] \sim 2x^2$。因此当 $x \to 0$ 时，$\ln[f(x+2)+e^{x^2}] \to 0$，从而 $f(x+2)+e^{x^2} \to 1$。由 $f$ 在 $x=2$ 处连续，令 $x=0$ 得 $f(2)+1=1$，即 $f(2)=0$。
公式：$$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$$
提示：注意等价无穷小替换后极限为常数
步骤 2/5
目标：将极限转化为等价形式
由 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln[f(x+2)+e^{x^2}]}{x^2/2}=4$，得 $\ln[f(x+2)+e^{x^2}] \sim 2x^2$。因此 $f(x+2)+e^{x^2} \sim e^{2x^2} \sim 1+2x^2$，故 $f(x+2) \sim 2x^2$。即 $f(2+x) \sim 2x^2$。
公式：$$\ln(1+u) \sim u, \quad e^u - 1 \sim u$$
提示：注意等价无穷小替换的条件和精度
步骤 3/5
目标：利用导数定义求一阶导数
由 $f(2+x) \sim 2x^2$，即 $f(2+x) = 2x^2 + o(x^2)$。则 $f'(2) = \lim_{x \to 0} \frac{f(2+x)-f(2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2+o(x^2)}{x} = 0$，故 $x=2$ 是驻点。
公式：$$f'(2) = \lim_{x \to 0} \frac{f(2+x)-f(2)}{x}$$
提示：注意高阶无穷小o(x^2)在极限中忽略
步骤 4/5
目标：利用二阶导数判断极值
由 $f(2+x) = 2x^2 + o(x^2)$，得 $f''(2) = \lim_{x \to 0} \frac{f(2+x)-2f(2)+f(2-x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2+2x^2}{x^2} = 4 > 0$，故 $x=2$ 是极小值点。
公式：$$f''(2) = \lim_{x \to 0} \frac{f(2+x)-2f(2)+f(2-x)}{x^2}$$
提示：注意二阶导数定义式的变形
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $x=2$ 是驻点且是极小值点，对应选项 (C)。
提示：注意驻点与极值点的区别
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