kaoyan1advanced 高等数学 第78题
📝 题目
### 第78题
设函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数，$f(1)=f(2)=0, F(x)=(x-1)^{2} f(x)$ ，则 $F^{\prime \prime}(x)$ 在 $(1,2)$ 内 （A）没有零点． （B）至少有一个零点． （C）有两个零点。 （D）有且仅有一个零点．
祉估
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$F(x)=(x-1)^2f(x)$，则$F(1)=0$，$F(2)=f(2)=0$。 步骤2：由罗尔定理，存在$\xi\in(1,2)$使$F'(\xi)=0$。又$F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)^2f'(x)$，$F'(1)=0$。 步骤3：对$F'(x)$在$[1,\xi]$上应用罗尔定理，存在$\eta\in(1,\xi)\subset(1,2)$使$F''(\eta)=0$。故至少有一个零点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：计算F(x)在端点处的值
由 $F(x) = (x-1)^2 f(x)$，代入 $x=1$ 得 $F(1) = 0$；代入 $x=2$ 得 $F(2) = (2-1)^2 f(2) = f(2) = 0$。因此 $F(1) = F(2) = 0$。
公式：$$F(x) = (x-1)^2 f(x)$$
提示：注意代入端点时f(1)=f(2)=0
步骤 2/5
目标：步骤2：对F(x)在[1,2]上应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，在 $(1,2)$ 内可导，且 $F(1)=F(2)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (1,2)$ 使得 $F'(\xi) = 0$。
公式：$$F(1)=F(2)=0$$
提示：注意验证罗尔定理的三个条件
步骤 3/5
目标：步骤3：计算F'(x)并求F'(1)的值
对 $F(x)$ 求导得 $F'(x) = 2(x-1)f(x) + (x-1)^2 f'(x)$。代入 $x=1$ 得 $F'(1) = 2(1-1)f(1) + (1-1)^2 f'(1) = 0$。
公式：$$F'(x) = 2(x-1)f(x) + (x-1)^2 f'(x)$$
提示：注意代入x=1时两项均为0
步骤 4/5
目标：步骤4：对F'(x)在[1,ξ]上应用罗尔定理
由于 $F'(x)$ 在 $[1,\xi]$ 上连续，在 $(1,\xi)$ 内可导，且 $F'(1)=F'(\xi)=0$，由罗尔定理，存在 $\eta \in (1,\xi) \subset (1,2)$ 使得 $F''(\eta) = 0$。
提示：注意ξ的存在性由F'(x)的零点保证
步骤 5/5
目标：步骤5：得出结论
因此 $F''(x)$ 在 $(1,2)$ 内至少有一个零点。对应选项为 (B)。
提示：注意零点存在性定理的应用条件
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