kaoyan1advanced 高等数学 第91题
📝 题目
### 第91题
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，下述 4 个命题 （1）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(x)$ 为奇函数． （2）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(x)$ 为偶函数． （3）对任意正常数 $a$ 及常数 $\omega>0, \int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 ⇔ $f(x)$ 有周期 $\omega$ ． （4） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 对 $x$ 有周期 $\omega \Leftrightarrow \int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t=0$ ． 正确的命题个数为 （A） 4 个． （B） 3 个． （C） 2 个． （D） 1 个．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：(1)正确，奇函数定义；(2)正确，偶函数定义；(3)正确，周期函数定义；(4)正确，$\int_0^{x+\omega}f(t)dt=\int_0^x f(t)dt$等价于$\int_0^\omega f(t)dt=0$。四个命题均正确，故个数为4。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析命题（1）
对于任意正常数$a$，有$\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0$。若$f(x)$为奇函数，则$\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0$成立；反之，若对任意$a>0$该积分均为0，则取$a$为任意值可推出$f(x)$为奇函数。因此（1）正确。
公式：$$\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 0 \iff f(x) \text{为奇函数}$$
提示：注意奇函数定义域需对称
步骤 2/5
目标：分析命题（2）
对于任意正常数$a$，有$\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$。若$f(x)$为偶函数，则$\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$成立；反之，由该等式对任意$a$成立可推出$f(x)$为偶函数。因此（2）正确。
公式：$$\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x = 2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$$
提示：注意偶函数性质与等价的充要性
步骤 3/5
目标：分析命题（3）
对任意正常数$a$及常数$\omega>0$，$\int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x$与$a$无关。若$f(x)$以$\omega$为周期，则$\int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\omega} f(x) \mathrm{d} x$与$a$无关；反之，若该积分与$a$无关，则对任意$a$有$\int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x$为常数，但仅此不能保证$f(x)$处处满足$f(x+\omega)=f(x)$（例如$f(x)$可仅在积分平均意义上周期，而非逐点周期），因此（3）不一定成立，故错误。
提示：积分与a无关不能推出逐点周期
步骤 4/5
目标：分析命题（4）
$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$对$x$有周期$\omega$，即$\int_{0}^{x+\omega} f(t) \mathrm{d} t = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$对任意$x$成立。令$x=0$得$\int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t = 0$；反之，若$\int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t = 0$，则$\int_{0}^{x+\omega} f(t) \mathrm{d} t = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + \int_{x}^{x+\omega} f(t) \mathrm{d} t$，但仅由$\int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t=0$不能推出$\int_{x}^{x+\omega} f(t) \mathrm{d} t=0$对任意$x$成立，因此（4）不一定成立，故错误。
公式：$$\int_{0}^{x+\omega} f(t) \mathrm{d} t = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + \int_{x}^{x+\omega} f(t) \mathrm{d} t$$
提示：周期函数积分性质需注意平移后积分不一定为零
步骤 5/5
目标：总结
综上，只有命题（1）和（2）正确，但注意原题答案参考中认为（3）和（4）也正确，然而根据严格数学分析，（3）和（4）的逆命题不成立，因此正确命题个数应为2个。但题目所给答案参考为D（1个），存在矛盾。按照标准考研数学解析，通常认为（1）（2）正确，（3）（4）错误，故正确个数为2，对应选项C。
提示：注意逆命题不成立
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