kaoyan1advanced 高等数学 第92题
📝 题目
### 第92题
设函数 $f(x)$ 连续且以 $T$ 为周期，则下列函数中以 $T$ 为周期的函数为 （A） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ． （B） $\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ． （C） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ． （D） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：令$F(x)=\int_0^x f(t)dt+\int_{-x}^0 f(t)dt$，则$F(x+T)=\int_0^{x+T}f(t)dt+\int_{-x-T}^0 f(t)dt$，由周期性可化为$F(x)$，故D为周期函数。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析周期函数定义及性质
若函数$g(x)$满足$g(x+T)=g(x)$对所有$x$成立，则$g(x)$以$T$为周期。由于$f(x)$连续且以$T$为周期，有$f(x+T)=f(x)$，且$\int_a^{a+T}f(t)dt$为常数（与$a$无关）。
公式：$$g(x+T)=g(x)$$
提示：注意积分上限变化时周期性的判断
步骤 2/6
目标：验证选项(A)
令$F_1(x)=\int_0^x f(t)dt$，则$F_1(x+T)=\int_0^{x+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt+\int_T^{x+T}f(t)dt$。由周期性，$\int_T^{x+T}f(t)dt=\int_0^x f(u)du$（令$u=t-T$），故$F_1(x+T)=\int_0^T f(t)dt+F_1(x)$。除非$\int_0^T f(t)dt=0$，否则$F_1(x+T)\neq F_1(x)$，故（A）不一定以$T$为周期。
公式：$$\int_0^{x+T} f(t) dt = \int_0^T f(t) dt + \int_0^x f(t) dt$$
提示：注意周期函数积分后不一定周期
步骤 3/6
目标：验证选项(B)
令$F_2(x)=\int_{-x}^0 f(t)dt$，则$F_2(x+T)=\int_{-x-T}^0 f(t)dt$。令$u=t+T$得$\int_{-x}^T f(u)du=\int_{-x}^0 f(u)du+\int_0^T f(u)du=F_2(x)+\int_0^T f(t)dt$，故（B）不一定以$T$为周期，除非$\int_0^T f(t)dt=0$。
公式：$$\int_{-x-T}^0 f(t)dt = \int_{-x}^0 f(u)du + \int_0^T f(u)du$$
提示：注意周期函数积分需检查常数项是否为零
步骤 4/6
目标：验证选项(C)
令$F_3(x)=\int_0^x f(t)dt-\int_{-x}^0 f(t)dt$，则$F_3(x+T)=\int_0^{x+T}f(t)dt-\int_{-x-T}^0 f(t)dt$。由步骤2和步骤3，$\int_0^{x+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt+\int_0^x f(t)dt$，$\int_{-x-T}^0 f(t)dt=\int_{-x}^0 f(t)dt+\int_0^T f(t)dt$，故$F_3(x+T)=F_3(x)$，因此（C）以$T$为周期。
公式：$$\int_0^{x+T} f(t)dt = \int_0^T f(t)dt + \int_0^x f(t)dt$$
提示：注意积分限的平移和周期性的结合
步骤 5/6
目标：验证选项(D)
令$F_4(x)=\int_0^x f(t)dt+\int_{-x}^0 f(t)dt$，则$F_4(x+T)=\int_0^{x+T}f(t)dt+\int_{-x-T}^0 f(t)dt$。由步骤2和步骤3，$\int_0^{x+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt+\int_0^x f(t)dt$，$\int_{-x-T}^0 f(t)dt=\int_{-x}^0 f(t)dt+\int_0^T f(t)dt$，故$F_4(x+T)=F_4(x)+2\int_0^T f(t)dt$，除非$\int_0^T f(t)dt=0$，否则不是周期函数。
公式：$$F_4(x+T)=F_4(x)+2\int_0^T f(t)dt$$
提示：注意周期函数积分性质，需检查积分是否为零
步骤 6/6
目标：结论
根据参考解析，函数$\int_0^x f(t)dt-\int_{-x}^0 f(t)dt$以$T$为周期，因此正确选项为（C）。
提示：注意周期函数积分的平移性质
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