kaoyan1advanced 高等数学 第93题
📝 题目
### 第93题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $f(0)=0$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x^{2}}{f(x) \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t}=3$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）不连续． （B）连续但不可导． （C）可导且 $f^{\prime}(0)=2$ ． （D）可导且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$\displaystyle 1-\cos x^2\sim\frac{x^4}{2}$，$\displaystyle \int_0^x\ln(1+t^2)dt\sim\frac{x^3}{3}$，故极限$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^4/2}{f(x)\cdot x^3/3}=3$，得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{f(x)}=2$，即$\displaystyle f(x)\sim\frac{x}{2}$，故$\displaystyle f'(0)=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：利用等价无穷小化简分子和积分
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x^2 \sim \frac{1}{2} (x^2)^2 = \frac{x^4}{2}$。
对于积分 $\int_0^x \ln(1+t^2) \, dt$，当 $t \to 0$ 时，$\ln(1+t^2) \sim t^2$，因此 $\int_0^x \ln(1+t^2) \, dt \sim \int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}$。
公式：$$1-\cos x^2 \sim \frac{1}{2}(x^2)^2 = \frac{x^4}{2}, \quad \ln(1+t^2) \sim t^2$$
提示：注意等价无穷小替换时变量的一致性
步骤 2/5
目标：步骤2：代入等价无穷小，化简极限表达式
将等价无穷小代入极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x^2}{f(x) \int_0^x \ln(1+t^2) \, dt} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{2}}{f(x) \cdot \frac{x^3}{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2f(x)} = 3.$$
公式：$$1-\cos x^2 \sim \frac{x^4}{2}, \quad \ln(1+t^2) \sim t^2, \quad \int_0^x t^2 dt = \frac{x^3}{3}$$
提示：注意等价无穷小替换的阶数匹配
步骤 3/5
目标：步骤3：求解关于f(x)的极限关系
由上式得：
$$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{2f(x)} = 3 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)} = 2.$$
因此，当 $x \to 0$ 时，$f(x) \sim \frac{x}{2}$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)} = 2$$
提示：注意极限运算的等价无穷小替换
步骤 4/5
目标：步骤4：利用导数定义求f'(0)
由 $f(0)=0$，根据导数定义：
$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.$$
由步骤3知 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)} = 2$，所以 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2}$，即 $f'(0) = \frac{1}{2}$。
公式：$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$$
提示：注意极限倒数关系，避免混淆分子分母
步骤 5/5
目标：步骤5：判断可导性并选择答案
由于导数存在且为 $\frac{1}{2}$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f'(0)=\frac{1}{2}$。对应选项为 (C)。
提示：注意极限存在与导数定义的关系
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