kaoyan1advanced 高等数学 第94题
📝 题目
### 第94题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处 （A）极限存在但不连续． （B）连续但不可导． （C）可导． （D）是否可导与 $a$ 的取值有关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$F(x)=\int_{-1}^x f(t)dt$，$F(0)=\int_{-1}^0 e^t dt=1-e^{-1}$，$F'_-(0)=f(0^-)=1$，$F'_+(0)=f(0^+)=a$，可导需$a=1$，但题目未给$a$值，故可导性与$a$有关。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算F(0)
由定义，$F(0)=\int_{-1}^{0} f(t) \mathrm{d}t$，在区间$[-1,0]$上$f(t)=e^t$，所以$F(0)=\int_{-1}^{0} e^t \mathrm{d}t = e^t\big|_{-1}^{0} = 1 - e^{-1}$。
公式：$$\int e^t dt = e^t + C$$
提示：注意分段函数在积分区间内的表达式
步骤 2/5
目标：求左导数F'_-(0)
左导数定义为$F'_-(0)=\lim_{x \to 0^-} \frac{F(x)-F(0)}{x}$。由$F(x)=\int_{-1}^{x} f(t)\mathrm{d}t$，当$x<0$时，$f(t)=e^t$，故$F(x)=\int_{-1}^{x} e^t \mathrm{d}t = e^x - e^{-1}$。于是$F'_-(0)=\lim_{x \to 0^-} \frac{(e^x - e^{-1}) - (1 - e^{-1})}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。
公式：$$F'_-(0)=\lim_{x \to 0^-} \frac{F(x)-F(0)}{x}$$
提示：注意分段函数积分时区分区间
步骤 3/5
目标：求右导数F'_+(0)
右导数定义为$F'_+(0)=\lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)-F(0)}{x}$。当$x>0$时，$F(x)=\int_{-1}^{0} e^t \mathrm{d}t + \int_{0}^{x} (t^2+a) \mathrm{d}t = (1-e^{-1}) + \left(\frac{x^3}{3}+ax\right)$。于是$F'_+(0)=\lim_{x \to 0^+} \frac{(1-e^{-1}+\frac{x^3}{3}+ax) - (1-e^{-1})}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^3}{3}+ax}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^2}{3}+a\right) = a$。
公式：$$F'_+(0)=\lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)-F(0)}{x}$$
提示：注意分段函数积分时正确代入上下限
步骤 4/5
目标：判断可导性
函数$F(x)$在$x=0$处可导当且仅当左导数等于右导数，即$1 = a$。因此，可导性与参数$a$的取值有关：当$a=1$时可导，否则不可导。
公式：$$f'(0_-)=f'(0_+)$$
提示：注意分段点处左右导数定义
步骤 5/5
目标：得出结论
根据以上分析，$F(x)$在$x=0$处的可导性依赖于$a$的值，故正确选项为（D）。
提示：注意分段函数在分段点的可导性需左右导数相等
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