kaoyan1advanced 高等数学 第95题
📝 题目
### 第95题
设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{1+x^{4}}+x^{8}\right) \mathrm{d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left[\sin ^{8} x+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right] \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{4} x+\right. \left.\mathrm{e}^{x} \cos x-\mathrm{e}^{-x} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ，则有 （A）$P>N>M$ ． （B）$N>P>M$ ． （C）$N>M>P$ ． （D）$P>M>N$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$M$中$\displaystyle \frac{\tan x}{1+x^4}$为奇函数，$x^8$为偶函数，故$M=2\int_0^{\pi/4}x^8dx>0$；$N$中$\ln(x+\sqrt{x^2+1})$为奇函数，$\sin^8x$为偶函数，故$N=2\int_0^{\pi/4}\sin^8xdx>0$；$P$中$\tan^4x$为偶函数，$e^x\cos x-e^{-x}\cos x$为奇函数，故$P=2\int_0^{\pi/4}\tan^4xdx$。比较大小得$N>P>M$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析M的奇偶性并化简
对于积分 $M=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\left(\frac{\tan x}{1+x^4}+x^8\right)dx$，被积函数中 $\frac{\tan x}{1+x^4}$ 是奇函数（因为 $\tan x$ 是奇函数，分母 $1+x^4$ 是偶函数，奇函数除以偶函数得奇函数），$x^8$ 是偶函数。由对称区间积分性质：奇函数部分积分为0，偶函数部分积分加倍，故 $M=2\int_0^{\pi/4}x^8dx>0$。
公式：$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \begin{cases} 0, & f \text{为奇函数} \\ 2\int_0^a f(x) \, dx, & f \text{为偶函数} \end{cases}$$
提示：注意奇偶函数判断时，分母偶函数不影响奇偶性
步骤 2/5
目标：分析N的奇偶性并化简
对于积分 $N=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\left[\sin^8 x+\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]dx$，$\sin^8 x$ 是偶函数（因为 $\sin x$ 是奇函数，偶次幂为偶函数），$\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 是奇函数（因为 $\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})$）。由对称区间积分性质得 $N=2\int_0^{\pi/4}\sin^8 x dx>0$。
公式：$$\int_{-a}^{a} f(x) dx = \begin{cases} 2\int_0^a f(x) dx & f(x) \text{偶} \\ 0 & f(x) \text{奇} \end{cases}$$
提示：注意奇偶函数在对称区间积分的性质
步骤 3/5
目标：分析P的奇偶性并化简
对于积分 $P=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\left(\tan^4 x+e^x\cos x-e^{-x}\cos x\right)dx$，$\tan^4 x$ 是偶函数（因为 $\tan x$ 是奇函数，偶次幂为偶函数），$e^x\cos x-e^{-x}\cos x$ 是奇函数（因为 $e^x\cos x$ 与 $e^{-x}\cos x$ 互为反函数，相减得奇函数）。由对称区间积分性质得 $P=2\int_0^{\pi/4}\tan^4 x dx>0$。
公式：$$\int_{-a}^{a}f(x)dx = \begin{cases} 2\int_{0}^{a}f(x)dx, & f\text{为偶函数} \\ 0, & f\text{为奇函数} \end{cases}$$
提示：注意偶次幂保持奇偶性，奇次幂改变
步骤 4/5
目标：比较M、N、P的大小
在区间 $(0,\pi/4)$ 上，$0<\sin x<\tan xP>M$。
提示：注意比较函数大小需在积分区间内
步骤 5/5
目标：得出最终答案
根据比较结果，$N>P>M$，对应选项为（B）。
提示：注意比较积分大小时，利用奇偶性和对称性简化。
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