kaoyan1advanced 高等数学 第90题
📝 题目
### 第90题
关于反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(\ln x)^{m}\left(1+x^{n}\right)}(m>0, n>0)$ ，下列命题中，正确的是 （A）若该积分发散，则必有 $0
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：积分$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{(\ln x)^m(1+x^n)}$，当$x\to+\infty$时，被积函数$\displaystyle \sim\frac{1}{x^n(\ln x)^m}$，收敛需$n>1$；当$x\to1^+$时，被积函数$\displaystyle \sim\frac{1}{(\ln x)^m}$，收敛需$m<1$。故收敛时需$m<1$且$n>1$，但选项D说$m\ge1,n>1$时收敛，错误；正确应为$m<1,n>1$时收敛，故D正确。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分收敛性的关键点
反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(\ln x)^m (1+x^n)}$ 的收敛性需要从两个奇点处考虑：$x \to 1^+$ 和 $x \to +\infty$。因为 $m>0, n>0$，被积函数在 $x=1$ 处可能发散（由于 $\ln x \to 0$），在 $x \to +\infty$ 处也可能发散（由于分母增长速度）。
提示：注意两个奇点：x=1和x=+∞
步骤 2/6
目标：分析 $x \to +\infty$ 时的渐近行为
当 $x \to +\infty$ 时，$1+x^n \sim x^n$，因此被积函数 $\sim \frac{1}{x^n (\ln x)^m}$。对于无穷限积分 $\int_{A}^{+\infty} \frac{dx}{x^n (\ln x)^m}$（$A>1$），收敛的充要条件是 $n>1$（因为 $\ln x$ 的增长速度慢于任何幂函数，主要取决于 $x^n$ 的幂次）。
公式：$$\int_{A}^{+\infty} \frac{dx}{x^n (\ln x)^m} \text{ 收敛充要条件: } n>1$$
提示：注意ln x增长慢，主要看x^n的幂次
步骤 3/6
目标：分析 $x \to 1^+$ 时的渐近行为
当 $x \to 1^+$ 时，$\ln x \sim x-1$，且 $1+x^n \to 2$（非零常数），因此被积函数 $\sim \frac{1}{(\ln x)^m} \sim \frac{1}{(x-1)^m}$。对于瑕积分 $\int_{1}^{B} \frac{dx}{(x-1)^m}$（$B>1$），收敛的充要条件是 $m<1$。
公式：$$\ln x \sim x-1 \quad (x \to 1^+)$$
提示：注意瑕点x=1处行为，非零常数可忽略
步骤 4/6
目标：综合收敛条件
要使原反常积分收敛，必须同时满足两个条件：$n>1$（无穷远处收敛）和 $m<1$（瑕点处收敛）。因此，收敛的充要条件是 $01$。
提示：注意瑕点和无穷远同时分析
步骤 5/6
目标：判断各选项的正确性
选项A：发散时必有 $01$，正确，但选项表述为“必有”且与D矛盾，需注意D的表述。
选项C：发散时必有 $m\ge1,01$，错误（$m\ge1$ 时瑕点处发散）。
实际上，根据解析，收敛条件为 $m<1, n>1$，因此选项B正确，但题目答案标注为D，可能存在笔误。按照标准分析，正确选项应为B。
公式：$$\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(\ln x)^m (1+x^n)}$$
提示：注意瑕点和无穷远双重性
步骤 6/6
目标：最终答案
根据收敛性分析，原积分收敛当且仅当 $m<1$ 且 $n>1$，因此正确选项为B。但题目所给答案标注为D，需注意题目解析中的矛盾。
公式：$$\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(\ln x)^m (1+x^n)}$$
提示：注意积分限处奇点与无穷远行为
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