kaoyan1advanced 高等数学 第89题
📝 题目
### 第89题
下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：A：$\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx$收敛；B：$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx$收敛；C：$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e^{\sqrt{x}}-1}dx$收敛；D：$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sin x\cos x}dx$，在$x=0$和$x=\pi/2$附近发散。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A的收敛性
考虑积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d}x$。在 $x \to 0^+$ 时，被积函数 $\sim \frac{1}{\sqrt{x}}$，$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 收敛（$p=1/2<1$）。在 $x \to +\infty$ 时，被积函数 $\sim \frac{1}{x^{3/2}}$，$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \mathrm{d}x$ 收敛（$p=3/2>1$）。因此选项A收敛。
公式：$$\int_0^1 \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x \text{ 收敛当且仅当 } p<1; \quad \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x \text{ 收敛当且仅当 } p>1$$
提示：注意比较判别法的极限形式
步骤 2/5
目标：分析选项B的收敛性
考虑积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}} \mathrm{d}x$。令 $x = \sec t$，则 $\mathrm{d}x = \sec t \tan t \, \mathrm{d}t$，当 $x=1$ 时 $t=0$，$x \to +\infty$ 时 $t \to \pi/2^-$。积分化为 $\int_0^{\pi/2} \frac{\sec t \tan t}{\sec t \cdot \tan t} \mathrm{d}t = \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}t = \frac{\pi}{2}$，收敛。
公式：$$\int \sec t \tan t \, dt = \sec t + C$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 3/5
目标：分析选项C的收敛性
考虑积分 $\int_0^1 \frac{1}{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1} \mathrm{d}x$。在 $x \to 0^+$ 时，$\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1 \sim \sqrt{x}$，被积函数 $\sim \frac{1}{\sqrt{x}}$，$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 收敛（$p=1/2<1$）。因此选项C收敛。
公式：$$\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1 \sim \sqrt{x} \quad (x \to 0^+)$$
提示：注意比较判别法的p值判断
步骤 4/5
目标：分析选项D的收敛性
考虑积分 $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x \cos x} \mathrm{d}x$。在 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，$\cos x \sim 1$，被积函数 $\sim \frac{1}{x}$，$\int_0^{\delta} \frac{1}{x} \mathrm{d}x$ 发散（$p=1$）。在 $x \to \pi/2^-$ 时，令 $u = \pi/2 - x$，则 $\sin x \sim 1$，$\cos x \sim u$，被积函数 $\sim \frac{1}{u}$，同样发散。因此选项D发散。
提示：注意两个端点都要判断，且p=1时发散
步骤 5/5
目标：得出结论
选项A、B、C均收敛，选项D发散，故答案为D。
提示：注意区分收敛与发散的条件
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