kaoyan1advanced 高等数学 第88题
📝 题目
### 第88题
若 $\displaystyle \frac{\sin \xi}{\xi}, \frac{\sin \eta}{\eta}$ 分别为 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 和 $(0, a)(0
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$\displaystyle \frac{\sin x}{x}$在$(0,\pi)$上单调递减，平均值$\displaystyle \frac{1}{b}\int_0^b\frac{\sin x}{x}dx$随$b$增大而减小。由$\displaystyle \frac{\sin\xi}{\xi}=\int_0^1\frac{\sin x}{x}dx$，$\displaystyle \frac{\sin\eta}{\eta}=\frac{1}{a}\int_0^a\frac{\sin x}{x}dx$，因$a<1$，故$\displaystyle \frac{\sin\eta}{\eta}>\frac{\sin\xi}{\xi}$，由单调性得$\eta<\xi$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解平均值的定义
函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在区间 $(0,b)$ 上的平均值为 $\frac{1}{b}\int_0^b \frac{\sin x}{x} dx$。由题意，$\frac{\sin \xi}{\xi}$ 是 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的平均值，$\frac{\sin \eta}{\eta}$ 是 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上的平均值，其中 $0
公式：$$\frac{1}{b}\int_0^b \frac{\sin x}{x} dx$$
提示：注意积分区间与平均值的对应关系
步骤 2/5
目标：分析函数 $\frac{\sin x}{x}$ 的单调性
函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,\pi)$ 上单调递减。因为当 $x\in(0,\pi)$ 时，$f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}<0$（可证 $x\cos x<\sin x$）。由于 $0
公式：$$f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}<0$$
提示：注意区间端点0和π的单调性
步骤 3/5
目标：比较两个平均值的大小
由于 $a<1$，区间 $(0,a)$ 的长度小于 $(0,1)$，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，因此 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上的值整体大于在 $(a,1)$ 上的值。平均值 $\frac{1}{a}\int_0^a f(x)dx$ 大于 $\frac{1}{1}\int_0^1 f(x)dx$，即：
$$\frac{\sin \eta}{\eta} = \frac{1}{a}\int_0^a \frac{\sin x}{x} dx > \int_0^1 \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\sin \xi}{\xi}.$$
提示：注意单调递减时区间越小平均值越大
步骤 4/5
目标：利用单调性比较 $\xi$ 与 $\eta$
由 $\frac{\sin \eta}{\eta} > \frac{\sin \xi}{\xi}$，且 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,\pi)$ 上单调递减，因此自变量越大函数值越小。所以 $\frac{\sin \eta}{\eta} > \frac{\sin \xi}{\xi}$ 意味着 $\eta < \xi$。
提示：注意单调递减时，函数值大则自变量小
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $\xi > \eta$，对应选项 (C)。
提示：注意比较函数单调性
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