kaoyan1advanced 高等数学 第87题
📝 题目
### 第87题
设 $(-\infty,+\infty)$ 上的非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) f(1-x)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\left|x-\frac{1}{2}\right|}{1+f(x)} \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{16}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由$f(x)f(1-x)=1$，令$t=1-x$，则$\displaystyle \int_0^1\frac{|x-1/2|}{1+f(x)}dx=\int_0^1\frac{|1/2-t|}{1+f(1-t)}dt=\int_0^1\frac{|x-1/2|}{1+1/f(x)}dx=\int_0^1\frac{|x-1/2|f(x)}{1+f(x)}dx$，两式相加得$\displaystyle 2I=\int_0^1|x-1/2|dx=\frac{1}{4}$，故$\displaystyle I=\frac{1}{8}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：利用对称性进行变量代换
令 $t = 1 - x$，则 $x = 1 - t$，$dx = -dt$，积分限 $x:0 \to 1$ 对应 $t:1 \to 0$，因此
$$
I = \int_0^1 \frac{|x-1/2|}{1+f(x)} dx = \int_1^0 \frac{|(1-t)-1/2|}{1+f(1-t)} (-dt) = \int_0^1 \frac{|1/2 - t|}{1+f(1-t)} dt.
$$
由于 $|1/2 - t| = |t - 1/2|$，且积分变量可重命名为 $x$，得
$$
I = \int_0^1 \frac{|x-1/2|}{1+f(1-x)} dx.
$$
公式：$$\int_0^1 \frac{|x-1/2|}{1+f(x)} dx = \int_0^1 \frac{|x-1/2|}{1+f(1-x)} dx$$
提示：注意绝对值对称性和积分限变换
步骤 2/5
目标：步骤2：利用已知条件化简被积函数
由题设 $f(x)f(1-x)=1$，得 $f(1-x) = \frac{1}{f(x)}$。代入上式得
$$
I = \int_0^1 \frac{|x-1/2|}{1 + \frac{1}{f(x)}} dx = \int_0^1 \frac{|x-1/2|}{\frac{f(x)+1}{f(x)}} dx = \int_0^1 \frac{|x-1/2| \, f(x)}{1+f(x)} dx.
$$
公式：$$f(1-x) = \frac{1}{f(x)}$$
提示：注意代入后分母通分时不要出错
步骤 3/5
目标：步骤3：将两个表达式相加
将原积分表达式与步骤2得到的表达式相加：
$$
2I = \int_0^1 \frac{|x-1/2|}{1+f(x)} dx + \int_0^1 \frac{|x-1/2| f(x)}{1+f(x)} dx = \int_0^1 |x-1/2| \cdot \frac{1+f(x)}{1+f(x)} dx = \int_0^1 |x-1/2| dx.
$$
公式：$$2I = \int_0^1 |x-1/2| \cdot \frac{1+f(x)}{1+f(x)} dx = \int_0^1 |x-1/2| dx$$
提示：注意分子分母约分时f(x)非负
步骤 4/5
目标：步骤4：计算定积分
计算 $\int_0^1 |x-1/2| dx$。由于 $|x-1/2|$ 在 $[0,1/2]$ 上为 $1/2 - x$，在 $[1/2,1]$ 上为 $x-1/2$，故
$$
\int_0^1 |x-1/2| dx = \int_0^{1/2} (1/2 - x) dx + \int_{1/2}^1 (x-1/2) dx.
$$
计算得：
$$
\int_0^{1/2} (1/2 - x) dx = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^{1/2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8},
$$
$$
\int_{1/2}^1 (x-1/2) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \right]_{1/2}^1 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{8}.
$$
因此 $\int_0^1 |x-1/2| dx = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$。
公式：$$\int_0^1 |x-1/2| dx = \int_0^{1/2} (1/2 - x) dx + \int_{1/2}^1 (x-1/2) dx = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$$
提示：注意绝对值分段积分时上下限正确
步骤 5/5
目标：步骤5：求解原积分
由 $2I = \frac{1}{4}$，得 $I = \frac{1}{8}$。
提示：注意积分变量替换后的对称性
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