kaoyan1advanced 高等数学 第37题
📝 题目
### 第37题
曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $2 x+4 y-z=0$ 平行的切平面方程是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2x+4y-z=5$ **解析**： 步骤1：曲面$z=x^2+y^2$，法向量$(2x,2y,-1)$，平面法向量$(2,4,-1)$，平行则$\displaystyle \frac{2x}{2}=\frac{2y}{4}=\frac{-1}{-1}$，得$x=1$，$y=2$。 步骤2：切点$(1,2,5)$，切平面方程$2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0$，即$2x+4y-z=5$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定曲面法向量与平面法向量
曲面 $z = x^2 + y^2$ 可写为 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0$，其法向量为 $\nabla F = (2x, 2y, -1)$。平面 $2x + 4y - z = 0$ 的法向量为 $(2, 4, -1)$。
公式：$$\nabla F = (2x, 2y, -1)$$
提示：注意曲面法向量与平面法向量平行条件
步骤 2/5
目标：利用平行条件求切点坐标
两平面平行时，法向量对应分量成比例：$\frac{2x}{2} = \frac{2y}{4} = \frac{-1}{-1}$。由 $\frac{2x}{2} = 1$ 得 $x = 1$；由 $\frac{2y}{4} = 1$ 得 $y = 2$。代入曲面方程 $z = x^2 + y^2$ 得 $z = 1^2 + 2^2 = 5$。因此切点为 $(1, 2, 5)$。
公式：$$\frac{2x}{2} = \frac{2y}{4} = \frac{-1}{-1}$$
提示：注意法向量对应分量成比例时，分母为平面法向量分量
步骤 3/5
目标：写出切平面方程
切平面方程为 $2(x - 1) + 4(y - 2) - (z - 5) = 0$。
公式：$$\nabla F(x_0,y_0,z_0) \cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0$$
提示：注意切平面与给定平面平行，法向量成比例
步骤 4/5
目标：化简得到最终方程
展开并整理：$2x - 2 + 4y - 8 - z + 5 = 0$，即 $2x + 4y - z - 5 = 0$，所以 $2x + 4y - z = 5$。
提示：注意常数项移项符号
步骤 5/5
目标：答案
所求切平面方程为 $2x + 4y - z = 5$。
公式：$$\nabla F(x_0,y_0,z_0) \cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0$$
提示：注意切平面法向量与给定平面法向量平行
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