kaoyan1advanced 高等数学 第36题
📝 题目
### 第36题
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{x^{2}+y^{2}}=0$ ，则 $2 f_{x}^{\prime}(0,0)+ f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：由极限为0知$f(0,0)=0$，且$f(x,y)=-3x+4y+o(\sqrt{x^2+y^2})$。 步骤2：$f_x'(0,0)=-3$，$f_y'(0,0)=4$，故$2f_x'+f_y'=-6+4=-2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用极限条件推导函数在原点处的值
由极限 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)+3x-4y}{x^2+y^2}=0$ 可知，分子趋于0，即 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} [f(x,y)+3x-4y]=0$。由于 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 连续，故 $f(0,0)+0-0=0$，因此 $f(0,0)=0$。
提示：注意连续性用于代入极限
步骤 2/4
目标：将极限条件转化为局部线性近似
由极限为0可得，当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$f(x,y)+3x-4y = o(x^2+y^2)$，即 $f(x,y) = -3x+4y + o(x^2+y^2)$。进一步，由于 $o(x^2+y^2)$ 是比 $x^2+y^2$ 高阶的无穷小，也一定是比 $\sqrt{x^2+y^2}$ 高阶的无穷小，因此 $f(x,y) = -3x+4y + o(\sqrt{x^2+y^2})$。
公式：$$f(x,y) = -3x+4y + o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意高阶无穷小的阶数转换
步骤 3/4
目标：利用偏导数定义求偏导数值
根据偏导数定义：$f_x'(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。由 $f(0,0)=0$ 及 $f(h,0) = -3h + o(|h|)$，得 $f_x'(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{-3h + o(|h|)}{h} = -3$。同理，$f_y'(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{4k + o(|k|)}{k} = 4$。
公式：$$f_x'(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$$
提示：注意极限表达式中的变量替换
步骤 4/4
目标：计算所求表达式的值
代入偏导数值：$2f_x'(0,0) + f_y'(0,0) = 2\times(-3) + 4 = -6 + 4 = -2$。
公式：$$2f_x'(0,0) + f_y'(0,0) = 2 \times (-3) + 4 = -2$$
提示：注意代入时符号和系数
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