kaoyan1advanced 高等数学 第65题
📝 题目
### 第65题
已知 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，$g(x)$ 在 $x_{0}$ 处间断．则下列函数中在 $x_{0}$ 处间断的是 （A）$f(g(x))$ ． （B）$g(f(x))$ ． （C）$g^{2}(x)$ ． （D） $\mathrm{e}^{f(x)} g(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$f(x)$连续，$g(x)$间断，则$f(g(x))$可能连续（如$f$为常数），$g(f(x))$可能连续（如$f$为常数），$g^2(x)$可能连续（如$g(x)=\pm1$间断但平方后连续）。 步骤2：$\mathrm{e}^{f(x)}g(x)$，若$\mathrm{e}^{f(x)}$连续且非零，则乘积间断，故选D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项（A）
考虑复合函数 $f(g(x))$。由于 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$g(x)$ 在 $x_0$ 处间断，但 $f$ 可能为常数函数（例如 $f(x) \equiv c$），此时 $f(g(x)) \equiv c$ 在 $x_0$ 处连续。因此 $f(g(x))$ 不一定间断，排除（A）。
提示：注意常数函数作为反例
步骤 2/5
目标：分析选项（B）
考虑复合函数 $g(f(x))$。由于 $f(x)$ 连续，但 $g$ 在 $x_0$ 处间断，若 $f$ 为常数函数（例如 $f(x) \equiv c$），则 $g(f(x)) \equiv g(c)$ 为常数，在 $x_0$ 处连续。因此 $g(f(x))$ 不一定间断，排除（B）。
提示：注意常数函数使复合函数连续
步骤 3/5
目标：分析选项（C）
考虑 $g^2(x)$。若 $g(x)$ 在 $x_0$ 处间断，但 $g^2(x)$ 可能连续。例如 $g(x) = \begin{cases} 1, & x \ge x_0 \\ -1, & x < x_0 \end{cases}$，则 $g(x)$ 在 $x_0$ 处间断，但 $g^2(x) \equiv 1$ 连续。因此 $g^2(x)$ 不一定间断，排除（C）。
提示：间断函数平方可能连续
步骤 4/5
目标：分析选项（D）
考虑 $\mathrm{e}^{f(x)} g(x)$。由于 $f(x)$ 连续，$\mathrm{e}^{f(x)}$ 连续且恒正（$\mathrm{e}^{f(x)} > 0$），因此 $\mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $x_0$ 处非零连续。而 $g(x)$ 在 $x_0$ 处间断，根据连续函数的运算性质，非零连续函数与间断函数的乘积必间断。故 $\mathrm{e}^{f(x)} g(x)$ 在 $x_0$ 处间断，选项（D）正确。
提示：注意非零连续函数与间断函数乘积必间断
步骤 5/5
目标：得出答案
综上所述，在 $x_0$ 处间断的函数是 $\mathrm{e}^{f(x)} g(x)$，对应选项（D）。
提示：注意连续与间断的运算性质
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