kaoyan1advanced 高等数学 第66题

选项A：设$f(x)$与$g(x)$均在$x_0$处不连续，则$f(x)g(x)$在$x_0$处必不连续。 反例：取$x_0=0$，令$f(x)=g(x)=\begin{cases}1,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$，则$f$和$g$在$x=0$处均不连续（因为极限为1，函数值为0），但$f(x)g(x)=1$（当$x\neq0$时）且$f(0)g(0)=0$，实际上$f(x)g(x)$在$x=0$处连续（因为极限为1，函数值为0？注意：乘积函数在$x=0$处极限为1，函数值为0，故不连续？但解析说乘积连续，需检查：$f(x)g(x)=\begin{cases}1,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$，极限为1，函数值为0，所以不连续。但解析说连续，可能反例有误？实际上更简单的反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}0,&x\geq0\\1,&x<0\end{cases}$，两者在$x=0$处都不连续，但乘积恒为0，连续。故A错误。

选项B：设$g(x)$在$x_0$处连续，$f(x_0)=0$，则$\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=0$。 反例：取$x_0=0$，$f(x)=x$，$g(x)=\frac{1}{x}$（在$x=0$处不连续，但题目要求$g(x)$在$x_0$处连续，此反例不满足条件。需找$g(x)$连续且$f(x_0)=0$但极限不存在的例子。例如：$f(x)=x$，$g(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处不连续，故不适用。正确反例：$f(x)=x$，$g(x)=\frac{1}{x}$（但$g$在0处不连续），所以B的条件要求$g$连续，因此反例需满足$g$连续。实际上，若$g$连续，则$\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=0\cdot g(x_0)=0$，所以B正确？但解析说B错误，可能反例为$f(x)=x$，$g(x)=\frac{1}{x}$（但$g$不连续），故B的条件不满足。更合适的反例：$f(x)=x$，$g(x)=\begin{cases}1,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$，则$g$在0处不连续，也不满足。实际上，若$g$连续，则$\lim f(x)g(x)=0$，所以B正确？但解析说错误，可能因为$f(x_0)=0$但$f$不一定连续，例如$f(x)=\begin{cases}0,&x=0\\1,&x\neq0\end{cases}$，$g(x)=1$，则$\lim_{x\to0}f(x)g(x)=1\neq0$，但$f(0)=0$，$g$连续，极限为1，故B错误。因此反例：$f(x)=\begin{cases}0,&x=0\\1,&x\neq0\end{cases}$，$g(x)=1$，则$\lim_{x\to0}f(x)g(x)=1\neq0$。

选项C：设在$x=x_0$的去心左邻域内$f(x)0$，$x<0$，故$x^2>x$，即$f(x)>g(x)$，不满足$f

提示：注意极限不等式方向可能不严格