kaoyan1advanced 高等数学 第64题
📝 题目
### 第64题
设 $\alpha_{1}=\ln (1+x)+\ln (1-x), \alpha_{2}=2^{x^{4}+x}-1, \alpha_{3}=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}$ ．当 $x \rightarrow 0$ 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 （A）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ． （B）$\alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}$. （C）$\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{2}$ ． （D）$\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{1}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\alpha_1=\ln(1+x)+\ln(1-x)=\ln(1-x^2)\sim -x^2$，二阶。 步骤2：$\alpha_2=2^{x^4+x}-1\sim (x^4+x)\ln2\sim x\ln2$，一阶。 步骤3：$\displaystyle \alpha_3=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}=\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\sim\frac{\frac{1}{2}x^3}{2}=\frac{1}{4}x^3$，三阶。 步骤4：阶数从低到高：$\alpha_2$（一阶），$\alpha_1$（二阶），$\alpha_3$（三阶），故选B。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简 α₁
α₁ = ln(1+x) + ln(1-x) = ln[(1+x)(1-x)] = ln(1-x²)。当 x→0 时，ln(1-x²) ~ -x²，所以 α₁ 是二阶无穷小。
公式：$$\ln(1+x)+\ln(1-x)=\ln(1-x^2)$$
提示：注意对数运算性质，避免直接展开。
步骤 2/5
目标：化简 α₂
α₂ = 2^(x⁴+x) - 1。利用等价无穷小：a^u - 1 ~ u ln a (u→0)，这里 u = x⁴+x ~ x (x→0)，所以 α₂ ~ (x⁴+x) ln 2 ~ x ln 2，是一阶无穷小。
公式：$$a^u - 1 \sim u \ln a \quad (u \to 0)$$
提示：注意u必须趋于0，且a>0
步骤 3/5
目标：化简 α₃
α₃ = √(1+tan x) - √(1+sin x)。有理化：α₃ = (tan x - sin x) / (√(1+tan x) + √(1+sin x))。分子 tan x - sin x = tan x (1 - cos x) ~ x · (x²/2) = x³/2，分母 ~ 2，所以 α₃ ~ (x³/2)/2 = x³/4，是三阶无穷小。
公式：$$\alpha_3 = \sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x} = \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}$$
提示：注意有理化后分子等价无穷小替换
步骤 4/5
目标：比较阶数并排序
α₂ 是一阶，α₁ 是二阶，α₃ 是三阶。从低阶到高阶排序为：α₂, α₁, α₃。
提示：注意比较无穷小阶数时需展开到足够阶数
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，正确选项为 B。
提示：注意无穷小阶数的比较方法
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