kaoyan1advanced 高等数学 第63题
📝 题目
### 第63题
设函数 $\displaystyle \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\left(2+\sin \frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 且函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则函数 $f(\varphi(x))$ 在 $x=0$ 处 （A）不连续． （B）连续但不可导． （C）可导且导数为 0 ． （D）可导且导数不为 0 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\varphi(x)$在$x=0$处连续且$\varphi(0)=0$，且$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{x}=0$，故$\varphi(x)=o(x)$。 步骤2：$f(x)$在$x=0$处可导，则$f(\varphi(x))$在$x=0$处可导且导数为$f'(0)\cdot\varphi'(0)$，但$\varphi'(0)=0$，故导数为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析 φ(x) 在 x=0 处的性质
首先，判断 φ(x) 在 x=0 处的连续性。由于 φ(0)=0，且当 x≠0 时，|φ(x)| = |x^2(2+sin(1/x))| ≤ 3x^2，故 lim_{x→0} φ(x)=0=φ(0)，因此 φ(x) 在 x=0 处连续。
公式：$$\lim_{x\to 0} x^2\left(2+\sin\frac{1}{x}\right)=0$$
提示：注意夹逼准则的使用条件
步骤 2/5
目标：计算 φ(x) 在 x=0 处的导数
利用导数定义：φ'(0) = lim_{x→0} [φ(x)-φ(0)]/x = lim_{x→0} [x^2(2+sin(1/x))]/x = lim_{x→0} x(2+sin(1/x))。由于 |x(2+sin(1/x))| ≤ 3|x|，故极限为 0，所以 φ'(0)=0。
公式：$$\varphi'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}$$
提示：注意有界量乘以无穷小仍为无穷小
步骤 3/5
目标：分析复合函数 f(φ(x)) 在 x=0 处的可导性
已知 f(x) 在 x=0 处可导，且 φ(x) 在 x=0 处可导，φ(0)=0。根据复合函数求导法则，f(φ(x)) 在 x=0 处可导，且导数为 f'(φ(0))·φ'(0) = f'(0)·0 = 0。
公式：$$(f(\varphi(x)))' = f'(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$$
提示：注意复合函数求导法则的适用条件
步骤 4/5
目标：验证导数定义（可选）
也可用导数定义验证：lim_{x→0} [f(φ(x))-f(φ(0))]/x = lim_{x→0} [f(φ(x))-f(0)]/x。由于 φ(x)=o(x)（即 φ(x)/x→0），且 f 在 0 处可导，该极限等于 f'(0)·0=0。
提示：注意φ(x)=o(x)的条件
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，f(φ(x)) 在 x=0 处可导，且导数为 0。对应选项为 (C)。
提示：注意复合函数可导性条件
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