kaoyan1advanced 高等数学 第98题
📝 题目
### 第98题
设在区间 $[-1,1]$ 上，$|f(x)| \leqslant x^{2}, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，记 $I=\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$I=0$ ． （B）$I>0$ ． （C）$I<0$ ． （D）$I$ 的正负不确定．
建设容题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：由$|f(x)| \leqslant x^{2}$得$f(0)=0$，且$f^{\prime \prime}(x)>0$知$f(x)$为凸函数。在$[-1,1]$上，$f(x) \leqslant 0$（除$x=0$外严格小于0），故$I=\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x < 0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用条件推导f(0)=0
由 $|f(x)| \leqslant x^{2}$，代入 $x=0$ 得 $|f(0)| \leqslant 0$，因此 $f(0)=0$。
提示：注意绝对值不等式取等条件
步骤 2/5
目标：分析函数凹凸性
已知 $f''(x)>0$，说明 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是严格凸函数（下凸）。
提示：注意严格凸函数与二阶导大于0的等价关系
步骤 3/5
目标：利用凸性确定函数符号
对于凸函数，其图像位于任意一点切线的上方。在 $x=0$ 处，由于 $f(0)=0$ 且 $f''(x)>0$，$f(x)$ 在 $x=0$ 附近开口向上。结合 $|f(x)| \leqslant x^{2}$，可知当 $x \neq 0$ 时，$f(x) \leqslant 0$（因为若 $f(x)>0$，则 $|f(x)|=f(x) \leqslant x^{2}$，但凸性会迫使 $f(x)$ 在非零点为负，实际上由凸性和边界条件可证 $f(x) \leq 0$ 且等号仅在 $x=0$ 成立）。
提示：注意凸函数与边界条件结合判断符号
步骤 4/5
目标：判断积分符号
由于 $f(x) \leqslant 0$ 且不恒为零（除 $x=0$ 外严格小于0），在区间 $[-1,1]$ 上积分得 $I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx < 0$。
提示：注意f(x)非正且不恒为零，积分必负
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $I<0$，对应选项 (C)。
提示：注意f''>0表明凸性，结合边界条件判断积分符号
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