kaoyan1advanced 高等数学 第97题
📝 题目
### 第97题
记曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(a>0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴所围区域为 $D . D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_{1}$ ，绕直线 $y=2 a$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_{2}$ ，则 （A）$V_{1}
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：摆线一拱与$x$轴围成区域，绕$x$轴旋转体积$V_1=\pi\int_0^{2\pi a}y^2dx$，绕$y=2a$旋转体积$V_2=\pi\int_0^{2\pi a}[(2a)^2-(2a-y)^2]dx$，计算得$V_1=V_2=5\pi^2 a^3$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：参数方程转化
将参数方程 $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$, $t \in [0, 2\pi]$ 转化为直角坐标积分形式。当 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 时，$x$ 从 $0$ 单调增加到 $2\pi a$，且 $dx = a(1 - \cos t) dt$。
公式：$$dx = a(1 - \cos t) dt$$
提示：注意t从0到2π时x单调递增
步骤 2/6
目标：计算绕x轴旋转体积V1
使用圆盘法：$V_1 = \pi \int_{0}^{2\pi a} y^2 dx = \pi \int_{0}^{2\pi} [a(1 - \cos t)]^2 \cdot a(1 - \cos t) dt = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^3 dt$。
公式：$$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx$$
提示：注意积分变量替换时dx要正确表达
步骤 3/6
目标：计算绕直线y=2a旋转体积V2
旋转半径为 $2a - y$，使用圆环法：$V_2 = \pi \int_{0}^{2\pi a} [(2a)^2 - (2a - y)^2] dx = \pi \int_{0}^{2\pi a} (4a y - y^2) dx$。代入 $y = a(1 - \cos t)$, $dx = a(1 - \cos t) dt$，得 $V_2 = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} [4(1 - \cos t)^2 - (1 - \cos t)^3] dt$。
公式：$$V = \pi \int_{a}^{b} [R^2(x) - r^2(x)] \, dx$$
提示：注意旋转半径是2a-y，不是y
步骤 4/6
目标：化简V2表达式
$V_2 = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 [4 - (1 - \cos t)] dt = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 (3 + \cos t) dt$。
公式：$$(1 - \cos t)^2 (3 + \cos t)$$
提示：注意括号内合并时符号
步骤 5/6
目标：计算积分
利用 $1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$，令 $u = t/2$，$dt = 2 du$，积分限 $t:0\to 2\pi$ 对应 $u:0\to \pi$。对于 $V_1$：$\int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^3 dt = 16 \int_0^{\pi} \sin^6 u du = 5\pi$，故 $V_1 = 5\pi^2 a^3$。对于 $V_2$：展开 $\int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 (3 + \cos t) dt$，利用周期性计算得 $5\pi$，故 $V_2 = 5\pi^2 a^3$。
公式：$$1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$$
提示：注意换元时积分限对应变化
步骤 6/6
目标：比较体积
$V_1 = V_2 = 5\pi^2 a^3$，两者相等，与 $a$ 无关。
公式：$$V_1 = V_2 = 5\pi^2 a^3$$
提示：注意旋转体体积公式的准确应用
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