kaoyan1advanced 高等数学 第99题
📝 题目
### 第99题
下列结论正确的是 （A） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=0$ ． （B） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=0$ ． （C） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x=0$ ． （D） $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-|x|} \mathrm{d} x=1$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： A：$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{d} x$发散（奇函数但积分区间对称，发散）。 B：$\displaystyle \frac{x}{(1+x^{2})^{2}}$为奇函数，积分收敛且值为0。 C：$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{d} x$在$x=0$处发散。 D：$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-|x|} \mathrm{d} x = 2\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x = 2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
考虑反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$。被积函数 $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$ 是奇函数，但积分区间对称。计算 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x = \lim_{b \to +\infty} \frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) \big|_{0}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \frac{1}{2} \ln(1+b^{2}) = +\infty$，发散。因此选项A错误。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x = \lim_{b \to +\infty} \frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) \big|_{0}^{b} = +\infty$$
提示：奇函数对称区间积分需先判断收敛性
步骤 2/5
目标：分析选项B
考虑反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{~d} x$。被积函数 $g(x)=\frac{x}{(1+x^{2})^{2}}$ 是奇函数，且积分区间对称。计算 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{~d} x = \lim_{b \to +\infty} \left[-\frac{1}{2(1+x^{2})}\right]_{0}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \left(-\frac{1}{2(1+b^{2})} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$，收敛。由奇函数性质，$\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x = 0$。因此选项B正确。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{~d} x = \lim_{b \to +\infty} \left[-\frac{1}{2(1+x^{2})}\right]_{0}^{b} = \frac{1}{2}$$
提示：注意奇函数在对称区间积分需先验证收敛性
步骤 3/5
目标：分析选项C
考虑反常积分 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$。被积函数 $h(x)=\frac{1}{\sin x}$ 在 $x=0$ 处无定义，且 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin x} = \infty$，因此 $x=0$ 是瑕点。计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$，由于 $\sin x \sim x$，$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 发散，故原积分发散。因此选项C错误。
公式：$$\sin x \sim x$$
提示：注意瑕点处等价无穷小判断敛散性
步骤 4/5
目标：分析选项D
考虑反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-|x|} \mathrm{d} x$。被积函数是偶函数，故 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-|x|} \mathrm{d} x = 2 \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x = 2 \lim_{b \to +\infty} (-\mathrm{e}^{-x}) \big|_{0}^{b} = 2 \lim_{b \to +\infty} (1-\mathrm{e}^{-b}) = 2$。因此选项D错误。
公式：$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|} dx = 2 \int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx = 2$$
提示：注意偶函数性质简化积分
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上分析，只有选项B正确。因此正确答案是B。
提示：注意反常积分收敛性判断
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