kaoyan1advanced 高等数学 第143题
📝 题目
### 第143题
设 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-2 t^{3}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，试确定方程 $f(x)=0$ 的实根个数．
💡 答案解析
**答案**：$3$个实根 **解析**： 步骤1：$f(x)=\int_0^x (t-2t^3)\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$，$f'(x)=(x-2x^3)\mathrm{e}^{-x^2}$，驻点$\displaystyle x=0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。 步骤2：$f(0)=0$，$\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)>0$，$\displaystyle f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)<0$，且$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$（积分收敛）。 步骤3：由单调性和极值符号，$f(x)=0$有$3$个实根：$x=0$及左右各一个。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数与驻点
由 $f(x)=\int_{0}^{x}(t-2t^{3})\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{d}t$，根据变上限积分求导法则，得 $f'(x)=(x-2x^{3})\mathrm{e}^{-x^{2}}$。令 $f'(x)=0$，由于 $\mathrm{e}^{-x^{2}}>0$，解得 $x-2x^{3}=0$，即 $x(1-2x^{2})=0$，驻点为 $x=0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。
公式：$$f'(x) = (x-2x^3)e^{-x^2}$$
提示：注意e^{-x^2}恒正，不影响驻点
步骤 2/4
目标：计算函数值并分析单调性
计算关键点函数值：$f(0)=0$；$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}(t-2t^{3})\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{d}t>0$（因为被积函数在 $(0,\frac{1}{\sqrt{2}})$ 内 $t-2t^{3}>0$）；$f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\int_{0}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}(t-2t^{3})\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{d}t<0$（由奇函数性质或直接积分得负）。又 $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$（积分收敛）。由 $f'(x)$ 符号可得单调区间：$(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}})$ 递减，$(-\frac{1}{\sqrt{2}},0)$ 递增，$(0,\frac{1}{\sqrt{2}})$ 递减，$(\frac{1}{\sqrt{2}},\infty)$ 递增。
提示：注意被积函数的符号与积分区间的关系
步骤 3/4
目标：利用零点定理判断实根个数
由于 $f(-\infty)=0$，$f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)<0$，且 $f$ 在 $(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}})$ 递减，故在 $(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}})$ 内 $f(x)<0$，无零点；在 $(-\frac{1}{\sqrt{2}},0)$ 上，$f$ 从负增至 $f(0)=0$，故有唯一零点 $x=0$（注意 $f(0)=0$ 已是一个根）；在 $(0,\frac{1}{\sqrt{2}})$ 上，$f$ 从 $0$ 减至正，故 $f(x)>0$，无零点；在 $(\frac{1}{\sqrt{2}},\infty)$ 上，$f$ 从正递减趋于 $0$，故存在唯一 $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$ 使得 $f(x)=0$。
提示：注意f(0)=0是已知根，避免重复计数
步骤 4/4
目标：总结实根个数
综上，$f(x)=0$ 共有 $3$ 个实根：$x=0$，一个负根（位于 $(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}})$ 内），一个正根（位于 $(\frac{1}{\sqrt{2}},\infty)$ 内）。
提示：注意f(0)=0，结合单调性判断根个数
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