kaoyan1advanced 高等数学 第142题
📝 题目
### 第142题
证明：在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上存在三个不同的点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使得
$$ $\displaystyle \left[\mathrm{e}^{-x_{1}}\left(\cos x_{1}-\sin x_{1}\right)\right] x_{3}=\left[\mathrm{e}^{-x_{2}}\left(\cos x_{2}-\sin x_{2}\right)\right]\left(\frac{\pi}{2}-x_{3}\right) .$ $$
💡 答案解析
**答案**：略 **解析**： 步骤1：令$g(x)=\mathrm{e}^{-x}(\cos x-\sin x)$，则$g'(x)=-2\mathrm{e}^{-x}\cos x$。 步骤2：在$\displaystyle [0,\frac{\pi}{2}]$上，$g(0)=1$，$\displaystyle g(\frac{\pi}{2})=-\mathrm{e}^{-\pi/2}$，由介值定理存在$x_1,x_2$使$g(x_1)=g(x_2)$。 步骤3：构造辅助函数$\displaystyle h(x)=g(x_1)x-g(x_2)(\frac{\pi}{2}-x)$，由零点定理得$x_3$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义函数并求导
令 $g(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x)$，则 $g'(x) = -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) = -2e^{-x}\cos x$。
公式：$$g'(x) = -2e^{-x}\cos x$$
提示：注意求导时符号和乘法法则
步骤 2/5
目标：分析函数在区间端点的值
计算 $g(0) = e^{0}(\cos 0 - \sin 0) = 1$，$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{-\pi/2}(\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = -e^{-\pi/2}$。由于 $g(0) > 0$，$g(\frac{\pi}{2}) < 0$，且 $g$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上连续，由介值定理，存在 $x_1, x_2 \in (0, \frac{\pi}{2})$ 使得 $g(x_1) = g(x_2)$。
提示：注意介值定理要求连续且端点值异号
步骤 3/5
目标：构造辅助函数
取定这样的 $x_1, x_2$，令 $h(x) = g(x_1) x - g(x_2)\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$，其中 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$。
公式：$$h(x) = g(x_1) x - g(x_2)\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$
提示：注意x1和x2是取定的点
步骤 4/5
目标：应用零点定理
计算 $h(0) = -g(x_2)\frac{\pi}{2}$，$h\left(\frac{\pi}{2}\right) = g(x_1)\frac{\pi}{2}$。由于 $g(x_1) = g(x_2)$，且 $g(x_1) \neq 0$（否则 $g(x_1)=0$ 导致 $h(x) \equiv 0$，此时任意 $x$ 均可），故 $h(0)$ 与 $h\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 异号。由零点定理，存在 $x_3 \in (0, \frac{\pi}{2})$ 使得 $h(x_3) = 0$。
提示：注意g(x1)≠0的条件
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $h(x_3) = 0$ 得 $g(x_1) x_3 = g(x_2)\left(\frac{\pi}{2} - x_3\right)$，即 $\left[e^{-x_1}(\cos x_1 - \sin x_1)\right] x_3 = \left[e^{-x_2}(\cos x_2 - \sin x_2)\right]\left(\frac{\pi}{2} - x_3\right)$。因此存在三个不同的点 $x_1, x_2, x_3 \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 满足等式。
公式：$$\left[e^{-x_1}(\cos x_1 - \sin x_1)\right] x_3 = \left[e^{-x_2}(\cos x_2 - \sin x_2)\right]\left(\frac{\pi}{2} - x_3\right)$$
提示：注意x1,x2,x3互不相同
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