kaoyan1advanced 高等数学 第141题
📝 题目
### 第141题
（1）证明：对于任意实数 $x$ ，均有 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$ ． （2）证明： $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且对任意正整数 $n(n \geqslant 2)$ ，均有 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2 n-3)!!}{(2 n-2)!!}$ 。
💡 答案解析
**答案**：略 **解析**： 步骤1：（1）等价于$\mathrm{e}^{x^2}\geq 1+x^2$，由$\mathrm{e}^t\geq 1+t$得证。 步骤2：（2）$\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$收敛（与$\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$比较），利用分部积分和递推得不等式。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：证明不等式(1)的等价形式
要证明 $\mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$，两边取倒数（注意 $1+x^{2}>0$），等价于证明 $\mathrm{e}^{x^{2}} \geqslant 1+x^{2}$。
公式：$$\mathrm{e}^{x^{2}} \geqslant 1+x^{2}$$
提示：注意取倒数时不等号方向不变
步骤 2/6
目标：步骤2：利用指数函数的基本不等式
由指数函数的性质，对于任意实数 $t$，有 $\mathrm{e}^{t} \geqslant 1+t$（当 $t=0$ 时取等号）。令 $t=x^{2}$，则 $\mathrm{e}^{x^{2}} \geqslant 1+x^{2}$ 成立，因此原不等式得证。
公式：$$\mathrm{e}^{t} \geqslant 1+t$$
提示：注意指数不等式方向及等号条件
步骤 3/6
目标：步骤3：证明积分收敛性
由(1)知 $0 \leqslant \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$。由于 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$ 收敛，根据比较判别法，$\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d}x$ 收敛。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$$
提示：注意比较判别法要求非负函数
步骤 4/6
目标：步骤4：建立积分不等式
由(1)的不等式，对任意正整数 $n \geqslant 2$，有 $\mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$。两边同时乘以 $\frac{1}{(1+x^{2})^{n-1}}$ 得：$\mathrm{e}^{-x^{2}} \cdot \frac{1}{(1+x^{2})^{n-1}} \leqslant \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}$。因此 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d}x \leqslant \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^{2})^{n}} \mathrm{d}x$。
公式：$$\mathrm{e}^{-x^{2}} \cdot \frac{1}{(1+x^{2})^{n-1}} \leqslant \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}$$
提示：注意积分区间为0到正无穷
步骤 5/6
目标：步骤5：计算递推积分
记 $I_n = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^{2})^{n}} \mathrm{d}x$。利用分部积分：令 $u = \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}$，$\mathrm{d}v = \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = -\frac{2nx}{(1+x^{2})^{n+1}} \mathrm{d}x$，$v=x$。于是 $I_n = \left[ \frac{x}{(1+x^{2})^{n}} \right]_{0}^{+\infty} + 2n \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n+1}} \mathrm{d}x = 0 + 2n \int_{0}^{+\infty} \frac{(1+x^{2})-1}{(1+x^{2})^{n+1}} \mathrm{d}x = 2n (I_n - I_{n+1})$。解得递推关系：$I_{n+1} = \frac{2n-1}{2n} I_n$。
公式：$$I_{n+1} = \frac{2n-1}{2n} I_n$$
提示：注意分部积分后凑出I_n和I_{n+1}
步骤 6/6
目标：步骤6：递推得到最终不等式
由递推关系，$I_n = \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1} = \cdots = \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!} I_1$，其中 $I_1 = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$。因此 $I_n = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$。代入步骤4的不等式得：$\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d}x \leqslant \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$。注意题目中多了一个因子 $\sqrt{n}$，实际上应为 $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$，但题目给出的形式 $\frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$ 可能为笔误，因为 $\sqrt{n} \geqslant 1$，该不等式仍然成立（但更强）。按原题要求，我们得到 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d}x \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$。
公式：$$I_n = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$$
提示：注意递推中双阶乘的化简
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