kaoyan1advanced 高等数学 第140题
📝 题目
### 第140题
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a)=f(b)=0$ ． 试证存在 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：略 **解析**： 步骤1：令$F(x)=f(x)\mathrm{e}^{\int f(x)\mathrm{d}x}$，则$F'(x)=[f'(x)+f^2(x)]\mathrm{e}^{\int f(x)\mathrm{d}x}$。 步骤2：由$f(a)=f(b)=0$，得$F(a)=F(b)=0$，由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使$F'(\xi)=0$，即$f'(\xi)+f^2(\xi)=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
令 $F(x) = f(x) e^{\int f(x) \, dx}$，则 $F'(x) = [f'(x) + f^2(x)] e^{\int f(x) \, dx}$。
提示：注意辅助函数构造的合理性
步骤 2/4
目标：验证端点条件
由 $f(a) = f(b) = 0$，得 $F(a) = 0 \cdot e^{\int f(a) \, dx} = 0$，$F(b) = 0 \cdot e^{\int f(b) \, dx} = 0$，故 $F(a) = F(b) = 0$。
提示：注意构造辅助函数后验证端点值相等
步骤 3/4
目标：应用罗尔定理
由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $F(a) = F(b)$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$。
提示：注意验证辅助函数满足罗尔定理条件
步骤 4/4
目标：推导结论
由 $F'(\xi) = [f'(\xi) + f^2(\xi)] e^{\int f(\xi) \, dx} = 0$，且 $e^{\int f(\xi) \, dx} \neq 0$，故 $f'(\xi) + f^2(\xi) = 0$。
公式：$$F'(\xi) = [f'(\xi) + f^2(\xi)] e^{\int f(\xi) \, dx} = 0$$
提示：注意指数因子恒不为零
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