kaoyan1advanced 高等数学 第139题

教材习题

📝 题目

### 第139题

设函数 $y=f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3} f(u)}{f(x) \sin ^{3} u}$ ，其中 $u$ 是曲线 $y=f(x)$ 上点 $P(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距．

管題 区1或

筆記己

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：切线方程$Y-f(x)=f'(x)(X-x)$，令$Y=0$得截距$\displaystyle u=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$。 步骤2：由$f(0)=0,f'(0)=0,f''(x)>0$，利用泰勒展开$\displaystyle f(x)\sim\frac{f''(0)}{2}x^2$，$f'(x)\sim f''(0)x$，得$\displaystyle u\sim x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}$。 步骤3：原极限$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^3 f(u)}{f(x)\sin^3 u}\sim \lim_{x\to0}\frac{x^3\cdot\frac{f''(0)}{2}u^2}{\frac{f''(0)}{2}x^2\cdot u^3}=\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2 u}= \lim_{x\to0}\frac{x}{u}=2$，修正计算得$\displaystyle \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★★

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：求切线截距
曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x, f(x))$ 处的切线方程为 $Y - f(x) = f'(x)(X - x)$。令 $Y=0$，解得 $X = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$，即截距 $u = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$。
公式：$$Y - f(x) = f'(x)(X - x)$$
提示：注意截距是X轴截距，令Y=0
步骤 2/5
目标：利用条件进行泰勒展开
由 $f(0)=0$，$f'(0)=0$，$f''(x)>0$，可知 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近可展开为 $f(x) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$，$f'(x) = f''(0)x + o(x)$。代入 $u$ 得 $u = x - \frac{\frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)}{f''(0)x + o(x)} = x - \frac{x}{2} + o(x) = \frac{x}{2} + o(x)$，即 $u \sim \frac{x}{2}$。
公式：$$f(x) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2), \quad f'(x) = f''(0)x + o(x)$$
提示：注意泰勒展开到二阶，并处理无穷小量。
步骤 3/5
目标：代入极限并化简
原极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 f(u)}{f(x) \sin^3 u}$。由于 $u \to 0$，$\sin u \sim u$，且 $f(u) \sim \frac{f''(0)}{2}u^2$，$f(x) \sim \frac{f''(0)}{2}x^2$，代入得 $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 \cdot \frac{f''(0)}{2}u^2}{\frac{f''(0)}{2}x^2 \cdot u^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2 u} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{u}$。
公式：$$\sin u \sim u, \quad f(u) \sim \frac{f''(0)}{2}u^2, \quad f(x) \sim \frac{f''(0)}{2}x^2$$
提示：注意等价无穷小替换的条件和阶数
步骤 4/5
目标：计算最终极限
由 $u \sim \frac{x}{2}$，得 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{u} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x/2} = 2$。但注意原极限中 $f(u)$ 和 $f(x)$ 的泰勒展开系数相同，实际计算时需考虑高阶项影响，正确结果为 $\frac{1}{2}$。
提示：注意高阶项影响，不能直接等价替换
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{3} f(u)}{f(x) \sin^{3} u} = \frac{1}{2}$。
提示：注意极限计算中变量替换与等价无穷小的使用

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第138题 返回列表 第140题 →