kaoyan1advanced 高等数学 第138题
📝 题目
### 第138题
证明：当 $0
💡 答案解析
**答案**：略 **解析**： 步骤1：令$\displaystyle f(x)=\ln(1+x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\arcsin x$，需证$f(x)>0$。 步骤2：求导得$f'(x)>0$（化简后分子恒正），且$f(0)=0$，故$f(x)>0$，原不等式成立。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：构造辅助函数
为了证明不等式 $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} < \frac{\ln(1+x)}{\arcsin x}$，将其等价变形为 $\ln(1+x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} > \arcsin x$。令 $f(x) = \ln(1+x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - \arcsin x$，则需证明在 $00$。
公式：$$f(x) = \ln(1+x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - \arcsin x$$
提示：注意等价变形时不等式方向不变
步骤 2/5
目标：步骤2：计算导数并化简
对 $f(x)$ 求导：
$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[\ln(1+x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right] - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
先计算 $g(x)=\ln(1+x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ 的导数。令 $h(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，则 $g(x)=\ln(1+x)h(x)$，$g'(x)=\frac{h(x)}{1+x} + \ln(1+x)h'(x)$。
计算 $h(x)=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1/2}$，$h'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$。
因此 $g'(x)=\frac{1}{1+x}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + \ln(1+x) \cdot \frac{1}{(1-x)^2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$。
化简第一项：$\frac{1}{1+x}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{(1+x)(1-x)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
所以 $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\ln(1+x)}{(1-x)^2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\ln(1+x)}{(1-x)^2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$。
公式：$$h'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$$
提示：注意复合函数求导时中间变量的处理
步骤 3/5
目标：步骤3：判断导数的符号
由于 $00$，$(1-x)^2>0$，$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}>0$，因此 $f'(x)>0$ 在 $(0,1)$ 上恒成立。
提示：注意各因式符号的判断
步骤 4/5
目标：步骤4：利用单调性证明不等式
因为 $f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格单调递增。又 $f(0)=\ln(1+0)\sqrt{\frac{1+0}{1-0}} - \arcsin 0 = 0 \cdot 1 - 0 = 0$，故对于任意 $x \in (0,1)$，有 $f(x) > f(0)=0$。
公式：$$f(x)=\ln(1+x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\arcsin x$$
提示：注意f(0)的计算要准确
步骤 5/5
目标：步骤5：得出结论
由 $f(x)>0$ 即 $\ln(1+x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} > \arcsin x$，两边除以正数 $\arcsin x$ 并整理得 $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} < \frac{\ln(1+x)}{\arcsin x}$，原不等式得证。
提示：注意不等式方向与除法正负性
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