💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：设 $M = \max_{0 \le x \le 1} |f(x)|$，存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $|f(x_0)| = M$。 步骤2：由 $f(0)=f(1)=0$，在 $[0,x_0]$ 和 $[x_0,1]$ 上分别应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (0,x_0)$，$\xi_2 \in (x_0,1)$ 使得 $\displaystyle f'(\xi_1) = \frac{f(x_0)}{x_0}$，$\displaystyle f'(\xi_2) = \frac{-f(x_0)}{1-x_0}$。 步骤3：在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上对 $f'(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (0,1)$ 使得 $\displaystyle f''(\xi) = \frac{f'(\xi_2)-f'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1} = -f(x_0)\left(\frac{1}{x_0(\xi_2-\xi_1)} + \frac{1}{(1-x_0)(\xi_2-\xi_1)}\right)$。 步骤4：由于 $\xi_2-\xi_1 < 1$，且 $\displaystyle x_0(1-x_0) \le \frac{1}{4}$，得 $\displaystyle |f''(\xi)| \ge M \cdot \frac{1}{x_0(1-x_0)} \ge 8M$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：设最大值并取点
设 $M = \max_{0 \le x \le 1} |f(x)|$，由闭区间上连续函数性质，存在 $x_0 \in [0,1]$ 使得 $|f(x_0)| = M$。由于 $f(0)=f(1)=0$，且 $M>0$（否则结论显然），故 $x_0 \in (0,1)$。
提示：注意M>0时x0在开区间内
目标：应用拉格朗日中值定理于两个子区间
在 $[0,x_0]$ 上对 $f(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (0,x_0)$ 使得 $f'(\xi_1) = \frac{f(x_0)-f(0)}{x_0-0} = \frac{f(x_0)}{x_0}$。
在 $[x_0,1]$ 上对 $f(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_2 \in (x_0,1)$ 使得 $f'(\xi_2) = \frac{f(1)-f(x_0)}{1-x_0} = -\frac{f(x_0)}{1-x_0}$。
提示：注意区间端点函数值条件
目标：对导函数再次应用拉格朗日中值定理
在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上对 $f'(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (0,1)$ 使得 $f''(\xi) = \frac{f'(\xi_2)-f'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1} = \frac{-\frac{f(x_0)}{1-x_0} - \frac{f(x_0)}{x_0}}{\xi_2-\xi_1} = -f(x_0) \left( \frac{1}{x_0(\xi_2-\xi_1)} + \frac{1}{(1-x_0)(\xi_2-\xi_1)} \right)$。
公式：$$f''(\xi) = \frac{f'(\xi_2)-f'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1}$$
提示：注意区间端点对应关系
目标：估计不等式并得到结论
由于 $\xi_2 - \xi_1 < 1$，且 $x_0(1-x_0) \le \frac{1}{4}$（由均值不等式），故 $\frac{1}{x_0(1-x_0)} \ge 4$。于是 $|f''(\xi)| = |f(x_0)| \cdot \frac{1}{x_0(1-x_0)} \cdot \frac{1}{\xi_2-\xi_1} \ge M \cdot 4 \cdot 2 = 8M$。因此至少存在一点 $\xi \in (0,1)$ 使得 $|f''(\xi)| \ge 8 \max_{0 \le x \le 1} |f(x)|$。
公式：$$\frac{1}{x_0(1-x_0)} \ge 4$$
提示：注意均值不等式应用条件