kaoyan1advanced 高等数学 第145题
📝 题目
### 第145题
设 $R=R(x)$ 是抛物线 $y=\sqrt{x}$ 上任一点 $M(x, y)(x \geqslant 1)$ 处的曲率半径，$S=S(x)$是该抛物线上点 $A(1,1)$ 与点 $M$ 之间的弧长，求 $\displaystyle 3 R \frac{\mathrm{~d}^{2} R}{\mathrm{~d} S^{2}}-\left(\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} S}\right)^{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：$y=\sqrt{x}$，$\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$\displaystyle y''=-\frac{1}{4x^{3/2}}$，曲率半径 $\displaystyle R = \frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|} = \frac{(1+\frac{1}{4x})^{3/2}}{1/(4x^{3/2})} = \frac{(4x+1)^{3/2}}{2}$。 步骤2：弧长 $\displaystyle S = \int_1^x \sqrt{1+y'^2} \, dx = \int_1^x \sqrt{1+\frac{1}{4x}} \, dx = \int_1^x \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}} \, dx$。 步骤3：由 $\displaystyle dS = \sqrt{1+y'^2} dx = \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}} dx$，$\displaystyle \frac{dR}{dS} = \frac{dR/dx}{dS/dx} = \frac{\frac{3}{2}(4x+1)^{1/2} \cdot 4 / 2}{\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}} = 6\sqrt{x}$。 步骤4：$\displaystyle \frac{d^2R}{dS^2} = \frac{d}{dx}(6\sqrt{x}) / \frac{dS}{dx} = \frac{3/\sqrt{x}}{\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}} = \frac{6}{\sqrt{4x+1}}$。 步骤5：代入 $\displaystyle 3R\frac{d^2R}{dS^2} - (\frac{dR}{dS})^2 = 3 \cdot \frac{(4x+1)^{3/2}}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{4x+1}} - (6\sqrt{x})^2 = 9(4x+1) - 36x = 0$。 **难度**：★★★☆☆