kaoyan1advanced 高等数学 第146题
📝 题目
### 第146题
设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0)=1, f(1)=a$ ． （1）求使得 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得最大值的 $f(x)$ 的表达式． （2）将 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得的最大值记为 $g(a)$ ，当 $a$ 为何值时，$g(a)$ 取得最大值？并求出该最大值．
💡 答案解析
**答案**：(1) $f(x)=1+(a-1)x$；(2) $a=\sqrt{2}$，最大值 $1$ **解析**： (1) 步骤1：$\displaystyle I = 1+\frac{a}{\sqrt{2}} - \int_0^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx$，由两点间直线最短，$\int_0^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx \ge \sqrt{(1-0)^2 + (a-1)^2} = \sqrt{1+(a-1)^2}$，等号当 $f(x)$ 为直线时成立，即 $f(x)=1+(a-1)x$。 步骤2：此时 $\displaystyle I = 1+\frac{a}{\sqrt{2}} - \sqrt{1+(a-1)^2}$。 (2) 步骤1：$\displaystyle g(a)=1+\frac{a}{\sqrt{2}} - \sqrt{1+(a-1)^2}$，求导 $\displaystyle g'(a)=\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{a-1}{\sqrt{1+(a-1)^2}}$。 步骤2：令 $g'(a)=0$ 得 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a-1}{\sqrt{1+(a-1)^2}}$，平方解得 $(a-1)^2=1$，即 $a=2$ 或 $a=0$（舍去，因 $a-1>0$），故 $a=2$。 步骤3：$\displaystyle g(2)=1+\frac{2}{\sqrt{2}} - \sqrt{1+1}=1+\sqrt{2}-\sqrt{2}=1$。 **难度**：★★★☆☆