kaoyan1advanced 高等数学 第48题
📝 题目
### 第48题
上半球面 $\Sigma: z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的形心为 $\_\_\_\_$ ．
## 管题 区域
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle (0,0,\frac{1}{2})$ **解析**： 步骤1：上半球面$\Sigma: z=\sqrt{1-x^2-y^2}$，形心坐标$\bar{x}=0$，$\bar{y}=0$由对称性。 步骤2：$\displaystyle \bar{z}=\frac{\iint_\Sigma z dS}{\iint_\Sigma dS}$，其中$\displaystyle dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dxdy$。 步骤3：面积$\iint_\Sigma dS=2\pi$（半球面面积）。 步骤4：$\displaystyle \iint_\Sigma z dS=\iint_{x^2+y^2\leq1} \sqrt{1-x^2-y^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dxdy=\iint_{x^2+y^2\leq1} dxdy=\pi$。 步骤5：$\displaystyle \bar{z}=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}$，故形心$\displaystyle (0,0,\frac{1}{2})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用对称性确定形心的x、y坐标
由于上半球面 $\Sigma: z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，且质量分布均匀，形心的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标均为零，即 $\bar{x} = 0$，$\bar{y} = 0$。
提示：注意对称性条件：曲面关于坐标轴对称且质量均匀
步骤 2/6
目标：写出形心z坐标的公式
形心的 $z$ 坐标公式为 $\bar{z} = \frac{\iint_\Sigma z \, dS}{\iint_\Sigma dS}$，其中 $dS$ 是曲面面积微元。
公式：$$\bar{z} = \frac{\iint_\Sigma z \, dS}{\iint_\Sigma dS}$$
提示：注意曲面是上半球面，z非负
步骤 3/6
目标：计算曲面面积微元dS
由 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，得 $z_x = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$，$z_y = \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$，则 $dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy = \sqrt{1 + \frac{x^2 + y^2}{1 - x^2 - y^2}} \, dxdy = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dxdy$。
公式：$$dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dxdy$$
提示：注意z_x和z_y的符号不影响dS
步骤 4/6
目标：计算分母：半球面的面积
上半球面的面积是半径为1的球面面积的一半，即 $\iint_\Sigma dS = \frac{1}{2} \cdot 4\pi \cdot 1^2 = 2\pi$。
公式：$$S = \frac{1}{2} \cdot 4\pi R^2 = 2\pi R^2$$
提示：注意是上半球面，面积取球面的一半
步骤 5/6
目标：计算分子：曲面积分∬_Σ z dS
将 $z$ 和 $dS$ 代入，得 $\iint_\Sigma z \, dS = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} \sqrt{1 - x^2 - y^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dxdy = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} dxdy = \pi \cdot 1^2 = \pi$。
公式：$$\iint_\Sigma z \, dS = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \, dxdy = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} dxdy = \pi$$
提示：注意dS的表达式和z的代入
步骤 6/6
目标：计算形心z坐标并给出最终答案
因此 $\bar{z} = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$，结合对称性，形心坐标为 $(0, 0, \frac{1}{2})$。
公式：$$\bar{z} = \frac{\iint_{\Sigma} z \, dS}{\iint_{\Sigma} dS}$$
提示：注意上半球面形心z坐标计算中面积与投影关系
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