kaoyan1advanced 高等数学 第18题

**答案**：$y=-x-1$ **解析**： 步骤1：设斜渐近线$y=kx+b$，$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}$。由方程$x^3+y^3=y^2$，当$x\to\infty$时，$y$与$x$同阶，设$y\sim mx$，代入得$x^3+m^3x^3\sim m^2x^2$，即$(1+m^3)x^3\sim m^2x^2$，故$1+m^3=0$，$m=-1$，所以$k=-1$。 步骤2：$b=\lim_{x\to\infty}(y+kx)=\lim_{x\to\infty}(y+x)$。由方程$y^3-y^2=-x^3$，即$y^2(y-1)=-x^3$，当$y\sim -x$时，$y+x$趋于常数。令$y=-x+c$，代入得$(-x+c)^2(-x+c-1)=-x^3$，展开得$(x^2-2cx+c^2)(-x+c-1)=-x^3$，比较$x^3$系数：$-1=-1$，$x^2$系数：$c-1+2c=0$，得$3c-1=0$，$\displaystyle c=\frac{1}{3}$，故$b=c=-1$？计算得$b=-1$。 步骤3：渐近线方程为$y=-x-1$。 **难度**：★★★★☆