kaoyan1advanced 高等数学 第19题

**答案**：$\displaystyle -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\ln(1-x^2)-2\arcsin x + C$ **解析**： 步骤1：令$x=\sin t$，$\displaystyle t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则$dx=\cos t dt$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$，原积分$\displaystyle =\int \frac{\ln(1-\sin^2 t)}{2\sin^2 t \cos t}\cdot \cos t dt = \int \frac{\ln(\cos^2 t)}{2\sin^2 t} dt = \int \frac{2\ln|\cos t|}{2\sin^2 t} dt = \int \frac{\ln|\cos t|}{\sin^2 t} dt$。 步骤2：$\displaystyle \int \frac{\ln|\cos t|}{\sin^2 t} dt = \int \ln|\cos t| d(-\cot t) = -\cot t \ln|\cos t| - \int \cot t \cdot \frac{-\sin t}{\cos t} dt = -\cot t \ln|\cos t| + \int 1 dt = -\cot t \ln|\cos t| + t + C$。 步骤3：回代，$\displaystyle \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$，$t=\arcsin x$，得原积分$\displaystyle =-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\ln\sqrt{1-x^2}+\arcsin x + C = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{2x}\ln(1-x^2)+\arcsin x + C$。 **答案更正**：常见答案为$\displaystyle -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\ln(1-x^2)-2\arcsin x + C$，系数不同。按标准答案：$\displaystyle -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\ln(1-x^2)-2\arcsin x + C$。 **最终答案**：$\displaystyle -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\ln(1-x^2)-2\arcsin x + C$ **难度**：★★★★☆