kaoyan1advanced 高等数学 第20题
📝 题目
### 第20题
已知 $y^{\prime}(x)=\cos (1-x)^{2}$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $\int_{0}^{1} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\sin 1$ **解析**： 步骤1：由$y'(x)=\cos(1-x)^2$，$y(0)=0$，得$y(x)=\int_0^x \cos(1-t)^2 dt$。 步骤2：$\int_0^1 y(x) dx = \int_0^1 \int_0^x \cos(1-t)^2 dt dx$，交换积分次序：$=\int_0^1 \int_t^1 \cos(1-t)^2 dx dt = \int_0^1 (1-t)\cos(1-t)^2 dt$。 步骤3：令$u=1-t$，则$du=-dt$，积分变为$\displaystyle \int_1^0 u\cos u^2 (-du) = \int_0^1 u\cos u^2 du = \frac{1}{2}\sin u^2 \big|_0^1 = \frac{1}{2}\sin 1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由导数表达式和初始条件得到y(x)的积分形式
由 $y'(x) = \cos(1-x)^2$ 且 $y(0)=0$，两边积分得 $y(x) = \int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt$。
公式：$$y(x) = \int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt$$
提示：注意积分变量与上限区分
步骤 2/4
目标：将所求积分转化为二重积分并交换积分次序
所求积分为 $\int_0^1 y(x) \, dx = \int_0^1 \left( \int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt \right) dx$。交换积分次序：积分区域为 $0 \leq t \leq x \leq 1$，即 $0 \leq t \leq 1$，$t \leq x \leq 1$，于是 $\int_0^1 \int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt \, dx = \int_0^1 \int_t^1 \cos(1-t)^2 \, dx \, dt = \int_0^1 (1-t) \cos(1-t)^2 \, dt$。
公式：$$\int_0^1 y(x) \, dx = \int_0^1 \int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt \, dx = \int_0^1 \int_t^1 \cos(1-t)^2 \, dx \, dt = \int_0^1 (1-t) \cos(1-t)^2 \, dt$$
提示：注意积分区域边界对应关系
步骤 3/4
目标：换元积分并计算定积分
令 $u = 1-t$，则 $du = -dt$，当 $t=0$ 时 $u=1$，$t=1$ 时 $u=0$，积分变为 $\int_1^0 u \cos(u^2) \, (-du) = \int_0^1 u \cos(u^2) \, du$。计算得 $\int_0^1 u \cos(u^2) \, du = \frac{1}{2} \sin(u^2) \big|_0^1 = \frac{1}{2} \sin 1$。
公式：$$\int_0^1 u \cos(u^2) \, du = \frac{1}{2} \sin(u^2) \big|_0^1 = \frac{1}{2} \sin 1$$
提示：注意换元时积分限的变化和符号处理
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此，$\int_0^1 y(x) \, dx = \frac{1}{2} \sin 1$。
公式：$$\int_0^1 y(x) \, dx = \frac{1}{2} \sin 1$$
提示：注意积分顺序和边界条件
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