kaoyan1advanced 高等数学 第21题

**答案**：$4$ **解析**： 步骤1：$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$，故$|\sin^2 x - \cos^2 x| = |\cos 2x|$。 步骤2：原积分$=\int_0^{2\pi} |\cos 2x| dx$，周期为$\pi$，在$[0,2\pi]$上有4个周期？$\cos 2x$周期$\pi$，$|\cos 2x|$周期$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，故$\displaystyle \int_0^{2\pi} |\cos 2x| dx = 4\int_0^{\pi/2} \cos 2x dx = 4 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x \big|_0^{\pi/2} = 2 \cdot (0-0)=0$？计算错误。 步骤3：正确：$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos 2x dx = \frac{1}{2}\sin 2x \big|_0^{\pi/2} = 0$，但$|\cos 2x|$在$[0,\pi/2]$上非负，实际积分$\displaystyle \int_0^{\pi/4} \cos 2x dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (-\cos 2x) dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，故一个周期$\pi/2$内积分为1，$[0,2\pi]$有4个周期，总积分为4。 **最终答案**：$4$ **难度**：★★☆☆☆