kaoyan1advanced 高等数学 第121题
📝 题目
### 第121题
对于常数 $k>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \tan \left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^{2}}\right)$ ． （A）绝对收敛． （B）条件收敛． （C）发散． （D）收敛性与 $k$ 的取值相关．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：通项$\displaystyle u_n = (-1)^{n-1} \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$，当$n\to\infty$时，$\displaystyle \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n}+\frac{k}{n^2} \sim \frac{1}{n}$，故$\displaystyle |u_n| \sim \frac{1}{n}$，$\sum |u_n|$发散。 步骤2：$u_n$为交错级数，且$\displaystyle \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$单调递减趋于0，故由莱布尼茨判别法，$\sum u_n$条件收敛。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析通项结构
设 $u_n = (-1)^{n-1} \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$，其中 $k>0$ 为常数。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2} \to 0$，利用等价无穷小 $\tan x \sim x$（$x \to 0$），得 $\tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n}+\frac{k}{n^2} \sim \frac{1}{n}$。
公式：$$\tan x \sim x \quad (x \to 0)$$
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 2/5
目标：判断绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$。由第一步的等价性，$|u_n| \sim \frac{1}{n}$，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，根据比较判别法的极限形式，$\sum |u_n|$ 发散，故原级数不是绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} |u_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$
提示：注意比较判别法极限形式的使用条件
步骤 3/5
目标：判断条件收敛性
原级数为交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$，其中 $a_n = \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right) > 0$。需验证莱布尼茨判别法的两个条件：
1. 单调递减性：考虑函数 $f(x) = \tan\left(\frac{1}{x}+\frac{k}{x^2}\right)$，当 $x>0$ 时，$\frac{1}{x}+\frac{k}{x^2}$ 单调递减，且 $\tan$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上单调递增，故 $f(x)$ 单调递减，从而 $a_n$ 单调递减。
2. 极限为零：$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}\right) = \tan 0 = 0$。
因此，由莱布尼茨判别法，原级数收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$$
提示：注意tan的单调性需结合内层函数
步骤 4/5
目标：综合结论
原级数收敛，但绝对值级数发散，故为条件收敛。且收敛性与 $k>0$ 的具体取值无关。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \tan\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^k}\right)$$
提示：注意条件收敛与绝对收敛的区别
步骤 5/5
目标：答案
因此，正确选项为（B）条件收敛。
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛的条件
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