kaoyan1advanced 高等数学 第122题
📝 题目
### 第122题
设 $p>0$ 为常数，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{2 n+1} \sin \frac{1}{n^{p}}$ （A）绝对收敛． （B）条件收敛。 （C）发散． （D）收敛性与 $p$ 的取值相关．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_{2n+1} \sin\frac{1}{n^p}$，取绝对值后为$\displaystyle \sum a_{2n+1} \sin\frac{1}{n^p}$。 步骤2：$\displaystyle \sin\frac{1}{n^p} \sim \frac{1}{n^p}$，且$a_{2n+1}$为正项级数$\sum a_n$收敛的子列，故$\sum a_{2n+1}$收敛。 步骤3：比较判别法：$\displaystyle a_{2n+1} \sin\frac{1}{n^p} \le a_{2n+1} \cdot 1$，但需更精确：$\displaystyle \sin\frac{1}{n^p} \le \frac{1}{n^p}$，故$\displaystyle \sum a_{2n+1} \sin\frac{1}{n^p} \le \sum a_{2n+1}$，但$\sum a_{2n+1}$收敛，故原级数绝对收敛。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析级数结构
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{2n+1} \sin\frac{1}{n^{p}}$，其中 $p>0$ 为常数，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收敛的正项级数。
提示：注意交错项与正弦函数的结合
步骤 2/6
目标：取绝对值并估计通项
取绝对值后得到 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n+1} \left|\sin\frac{1}{n^{p}}\right|$。由于 $\sin\frac{1}{n^{p}} \sim \frac{1}{n^{p}}$ 当 $n \to \infty$，且 $\left|\sin x\right| \le x$ 对 $x \ge 0$ 成立，因此 $\left|\sin\frac{1}{n^{p}}\right| \le \frac{1}{n^{p}}$。
公式：$$\sin x \sim x \ (x \to 0), \ |\sin x| \leq x \ (x \geq 0)$$
提示：注意等价无穷小和不等式放缩的适用条件
步骤 3/6
目标：利用正项级数收敛性
因为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，其子列 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n+1}$ 也收敛。于是有 $a_{2n+1} \left|\sin\frac{1}{n^{p}}\right| \le a_{2n+1} \cdot \frac{1}{n^{p}} \le a_{2n+1}$（当 $n \ge 1$ 时 $\frac{1}{n^{p}} \le 1$）。
提示：注意子列收敛性与不等式放缩方向
步骤 4/6
目标：应用比较判别法
由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n+1} \left|\sin\frac{1}{n^{p}}\right|$ 被收敛级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n+1}$ 控制，因此该绝对值级数收敛。
提示：注意比较判别法需正项级数
步骤 5/6
目标：得出绝对收敛结论
由于绝对值级数收敛，原级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{2n+1} \sin\frac{1}{n^{p}}$ 绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n} a_{2n+1} \sin\frac{1}{n^{p}}| \leq \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n+1} \leq \sum_{n=1}^{\infty} a_n < \infty$$
提示：注意比较判别法需正项级数
步骤 6/6
目标：选择答案
因此正确选项为 (A) 绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^n a_n \sin\frac{1}{n^p}| \leq \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \frac{1}{n^p}$$
提示：注意利用不等式放缩判断绝对收敛
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