kaoyan1advanced 高等数学 第123题
📝 题目
### 第123题
要使级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛，只需 （A）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。 （B）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛． （C）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收敛。 （D）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 绝对收敛。
衦估
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若$\sum u_n$绝对收敛，则$\lim u_n=0$，且$|u_n|$有界，故$u_n^2 \le |u_n|$当$n$充分大时，由比较判别法，$\sum u_n^2$收敛。 步骤2：其他选项反例：$\sum u_n$收敛但条件收敛时，如$\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则$\displaystyle \sum u_n^2 = \sum \frac{1}{n}$发散；$\sum u_n^3$收敛不能推出$\sum u_n^2$收敛，如$\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}$，则$\sum u_n^3$条件收敛，但$\sum u_n^2$发散。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项B：绝对收敛推出平方级数收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛，则 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，且 $|u_n|$ 有界。当 $n$ 充分大时，$|u_n| < 1$，从而 $u_n^2 \leq |u_n|$。由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛。
公式：$$u_n^2 \leq |u_n|$$
提示：注意绝对收敛是充分非必要条件
步骤 2/5
目标：分析选项A：条件收敛的反例
取 $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则 $\sum u_n$ 条件收敛（莱布尼茨判别法），但 $\sum u_n^2 = \sum \frac{1}{n}$ 发散，故A不充分。
提示：条件收敛不能推出平方级数收敛
步骤 3/5
目标：分析选项C：三次方收敛的反例
取 $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}$，则 $\sum u_n^3 = \sum \frac{(-1)^n}{n}$ 条件收敛，但 $\sum u_n^2 = \sum \frac{1}{n^{2/3}}$ 发散（$p=2/3<1$），故C不充分。
公式：$$\sum u_n^3 = \sum \frac{(-1)^n}{n}$$
提示：注意p级数收敛条件
步骤 4/5
目标：分析选项D：三次方绝对收敛的反例
取 $u_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$，则 $\sum u_n^3 = \sum \frac{1}{n}$ 发散，但若考虑绝对收敛，例如 $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}$，则 $\sum u_n^3$ 条件收敛而非绝对收敛，故D不充分。实际上，即使 $\sum u_n^3$ 绝对收敛，也不能保证 $\sum u_n^2$ 收敛（例如 $u_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ 时 $\sum u_n^3$ 发散，但若取 $u_n = \frac{1}{n}$ 则 $\sum u_n^3$ 绝对收敛但 $\sum u_n^2$ 发散），故D错误。
提示：绝对收敛不能推出平方和收敛
步骤 5/5
目标：得出结论
只有选项B能保证 $\sum u_n^2$ 收敛，因此答案为B。
提示：注意收敛级数平方不一定收敛
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