kaoyan1advanced 高等数学 第125题
📝 题目
### 第125题
设 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n^{2} a_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ （A）条件收敛。 （B）绝对收敛． （C）发散． （D）玫散性不定．
建设荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\sum (-1)^n n^2 a_n$收敛，不能确定$a_n$的敛散性。例如，取$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n^2}$，则$\sum (-1)^n n^2 a_n = \sum 1$发散，不满足条件；取$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n^3}$，则$\displaystyle \sum (-1)^n n^2 a_n = \sum \frac{1}{n}$发散；取$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n^4}$，则$\displaystyle \sum (-1)^n n^2 a_n = \sum \frac{1}{n^2}$收敛，且$\displaystyle \sum a_n = \sum \frac{(-1)^n}{n^4}$绝对收敛；取$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}$，则$\sum (-1)^n n^2 a_n = \sum (-1)^{2n} n = \sum n$发散。故无法确定。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n^{2} a_{n}$ 收敛，但该条件无法直接推出 $a_n$ 的符号或大小关系。
提示：收敛性不能直接传递到去掉因子的级数
步骤 2/6
目标：构造反例1：绝对收敛
取 $a_n = \frac{(-1)^n}{n^4}$，则 $(-1)^n n^2 a_n = \frac{1}{n^2}$，级数 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛。此时 $\sum a_n = \sum \frac{(-1)^n}{n^4}$ 绝对收敛。
提示：注意反例构造需满足给定条件
步骤 3/6
目标：构造反例2：条件收敛
取 $a_n = \frac{(-1)^n}{n^3}$，则 $(-1)^n n^2 a_n = \frac{1}{n}$，级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，不满足条件。需调整：取 $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$，则 $(-1)^n n^2 a_n = n$，发散。因此无法构造条件收敛的例子，但可说明敛散性不定。
提示：注意交错级数收敛条件与通项关系
步骤 4/6
目标：构造反例3：发散
取 $a_n = \frac{1}{n^2}$，则 $(-1)^n n^2 a_n = (-1)^n$，级数 $\sum (-1)^n$ 发散，不满足条件。需另寻：取 $a_n = \frac{(-1)^n}{n^2}$，则 $(-1)^n n^2 a_n = 1$，发散。因此无法保证 $\sum a_n$ 收敛。
提示：注意构造反例时需满足条件收敛
步骤 5/6
目标：综合判断
由以上反例可知，在给定条件下，$\sum a_n$ 可能绝对收敛，也可能发散，故其敛散性不能确定。
提示：注意反例法判断敛散性不确定
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，选项（D）正确：敛散性不定。
提示：注意反例构造时需满足原级数收敛条件
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